Chương VIII

Chiều

Trong chương này, mọi vành được giả thiết là giao hoán, các đại số là kết hợp, giao hoán và có phần tử khả nghịch.

Cho $A$ là một vành. Nếu $a$ là một iđêan của $A$ và $n$ là một số nguyên âm, ta đặt $a^n = A$. Với mọi iđêan nguyên tố $p$ của $A$, ta ký hiệu bởi $\kappa(p)$ trường thặng dư của vành địa phương $A_p$; nó đẳng cấu chính tắc với trường phân thức của vành $A/p$ (II, § 3, No. 1, prop. 2). Nếu $A$ là địa phương, ta ký hiệu bởi $m_A$ iđêan cực đại của nó và $\kappa_A = A/m_A = \kappa(m_A)$ là trường thặng dư của nó.

Cho $\rho : A \to B$ là một đồng cấu của các vành. Ta ký hiệu bởi $^a\rho$ ánh xạ liên tục từ Spec(B) vào Spec(A) liên kết với $\rho$ (II, § 4, No. 3). Ta nói (V, § 2, No. 1, def. 1) rằng một iđêan nguyên tố $q$ của $B$ nằm trên iđêan nguyên tố $p$ của $A$ nếu $p$ là ảnh của $q$ qua $^a\rho$, nghĩa là nếu $\rho^{-1}(q) = p$. Cho $M$ là một $B$-môđun; khi xét $M$ như một $A$-môđun, ta luôn xét cấu trúc môđun $A$ $\rho_*(M)$ được xác định bởi phép toán ngoài $(a, m) \mapsto \rho(a).m$ (A, II, p. 30).

Cho $M$ là một $A$-môđun. Nếu $U$ (resp. $V$) là một nhóm con cộng tính của $A$ (resp. $M$), ta ký hiệu bởi $UV$ hoặc $U.V$ nhóm con cộng tính của $M$ sinh bởi các tích $uv$, với $u \in U$ và $v \in V$. Nếu $S$ là một tập con của $A$, ta ký hiệu bởi $SM$ môđun con $\sum_{s \in S} sM$ của $M$; iđêan $\mathfrak{S}$ của $A$ sinh bởi $S$ bằng $SA$ và ta có $\mathfrak{S}.M = SM$.