Chapitre VIII

Dimension

Dans ce chapitre, tous les anneaux sont supposés commutatifs, les algèbres sont associatives, commutatives et unifères.

Soit $A$ un anneau. Si $a$ est un idéal de $A$ et $n$ un entier négatif, on pose $a^n = A$. Pour tout idéal premier $p$ de $A$, on note $\kappa(p)$ le corps résiduel de l’anneau local $A_p$; il est canoniquement isomorphe au corps des fractions de l’anneau $A/p$ (II, § 3, no 1, prop. 2). Si $A$ est local, on note $m_A$ son idéal maximal et $\kappa_A = A/m_A = \kappa(m_A)$ son corps résiduel.

Soit $\rho : A \to B$ un homomorphisme d’anneaux. On note $^a\rho$ l’application continue de Spec(B) dans Spec(A) associée à $\rho$ (II, § 4, no 3). On dit (V, § 2, no 1, déf. 1) qu’un idéal premier $q$ de $B$ est au-dessus de l’idéal premier $p$ de $A$ si $p$ est l’image de $q$ par $^a\rho$, c’est-à-dire si $\rho^{-1}(q) = p$. Soit $M$ un $B$-module ; lorsque nous considérerons $M$ comme $A$-module, il s’agira toujours de la structure de $A$-module $\rho_*(M)$ définie par la loi externe $(a, m) \mapsto \rho(a).m$ (A, II, p. 30).

Soit $M$ un $A$-module. Si $U$ (resp. $V$) est un sous-groupe additif de $A$ (resp. $M$), on note $UV$ ou $U.V$ le sous-groupe additif de $M$ engendré par les produits $uv$, pour $u \in U$ et $v \in V$. Si $S$ est une partie de $A$, on note $SM$ le sous-module $\sum_{s \in S} sM$ de $M$; l’idéal $\mathfrak{S}$ de $A$ engendré par $S$ est égal à $SA$ et l’on a $\mathfrak{S}.M = SM$.