Cho $q \subset p$ là một iđêan nguyên tố phân biệt với $p$. Ta có $x \notin q$ do tính chất cực tiểu của $p$. Vì $A$ là một miền nguyên, $A_p$ có thể được đồng nhất với một vành con của $A_q$; với mọi số nguyên $n \geq 0$, ký hiệu $q_n$ là iđêan $q^n A_q \cap A_p$ của $A_p$. Tính chất cực tiểu của $p$ có nghĩa là vành địa phương $A_p / xA_p$ có chiều 0; do đó nó có độ dài hữu hạn ($§ 1$, no 3, ví dụ 1), và tồn tại một số nguyên $n_0 \geq 0$ sao cho ta có

Cố định số nguyên $n \geq n_0$. Với $y \in q_n$, tồn tại $a \in A_p$ sao cho $y - ax \in q_{n+1}$; khi đó ta có $ax \in q_n$, do đó $a \in q_n$ vì $x \notin q$, và cuối cùng ta có $y \in q_{n+1} + xq_n$. Vậy ta có

Vì $x$ thuộc iđêan cực đại của vành địa phương Noether $A_p$, bổ đề Nakayama cho thấy rằng ta có $q_n = q_{n+1}$. Vì ta có $(qA_q)^n = q_n A_q$, suy ra

Vì vành $A_q$ là địa phương và Noether, ta có $\bigcap_{n \geq 0} (qA_q)^n = \{0\}$ (III, § 3, no 2, hệ quả của mệnh đề 5) do đó $(qA_q)^{n_0} = \{0\}$ và cuối cùng iđêan nguyên tố $qA_q$ của $A_q$ thu về 0. Vậy $q = \{0\}$, điều này chứng minh rằng $p$ có chiều cao 1.

Bất đẳng thức $\dim(A/a) \leq \dim(A)$ suy ra từ mệnh đề 6 của § 1, no 3. Một phép quy nạp ngay lập tức theo $m$ cho thấy rằng chỉ cần thiết lập bất đẳng thức

đối với mọi phần tử $x$ của căn của $A$, nghĩa là chứng minh rằng ta có $\dim(A/xA) \geq n - 1$ đối với mọi chuỗi $p_0 \subset ... \subset p_n$ các iđêan nguyên tố của $A$, có độ dài $n \geqslant 1$, và sao cho $x \in p_n$. Chỉ cần xây dựng một chuỗi $q_1 \subset ... \subset q_n$ các iđêan nguyên tố của $A$, với $x \in q_1$ và điều này suy ra từ bổ đề sau:

Ta lập luận bằng quy nạp theo $n$, trường hợp $n = 1$ là tầm thường. Vậy giả sử rằng ta có $n \geqslant 2$ và rằng $x$ không thuộc $p_{n-1}$. Gọi $p'_{n-1}$ là một phần tử cực tiểu của tập hợp các iđêan nguyên tố của $A$ được chứa trong $p'_n = p_n$ và chứa $p_{n-2} + Ax$ (II, § 2, No. 6, bổ đề 2). Theo mệnh đề 1, iđêan $p'_{n-1}/p_{n-2}$ của vành $A/p_{n-2}$ có chiều cao 1, và vì $p_{n-2} \subset p_{n-1} \subset p_n$ là một chuỗi có độ dài 2, điều tương tự cũng đúng với $p_{n-2} \subset p'_{n-1} \subset p'_n$. Ta có $x \in p'_{n-1}$. Giả thiết quy nạp áp dụng cho chuỗi $p_0 \subset p_1 \subset ... \subset p_{n-2} \subset p'_{n-1}$ cho thấy rằng tồn tại một chuỗi $p'_0 \subset p'_1 \subset ... \subset p'_{n-2} \subset p'_{n-1}$ với $x \in p'_1$ và $p'_0 = p_0$. Chuỗi

a) Cho $A$ là một vành Noether nửa địa phương khác không và $a$ là căn của nó; vành thương $A/a$ là Artin và khác không, do đó có chiều 0 ($§ 1$, No. 3, Ví dụ 1). Tồn tại một số nguyên $m \geqslant 0$ sao cho iđêan $a$ của $A$ được sinh bởi $m$ phần tử; do đó $0 \leqslant \dim(A) \leqslant m$ theo Mệnh đề 2. b) Cho $a \neq A$ là một iđêan của $A$, và cho $m$ là một iđêan cực đại của $A$ chứa $a$. Ta có $0 \leqslant \mathrm{ht}(a) \leqslant \dim(A_m)$ theo Mệnh đề 7 của $§ 1$, No. 3, và $A_m$ là một vành Noether địa phương. Do đó $\mathrm{ht}(a)$ là hữu hạn theo a). c) Mọi dãy giảm nghiêm ngặt hữu hạn $(p_i)_{0 \leqslant i \leqslant n}$ các iđêan nguyên tố của $A$ xác định một chuỗi $p_n \subset ... \subset p_0$, do đó $n \leqslant \dim(A_{p_0}) < + \infty$. Vậy không thể tồn tại một dãy giảm nghiêm ngặt vô hạn các iđêan nguyên tố của $A$, do đó c).

Gọi $\Phi$ là tập hợp các iđêan nguyên tố cực tiểu của $A$, và $\Phi'$ là tập hợp các $p \in \Phi$ sao cho $\dim(A/p) = \dim(A)$. Ta biết (II, § 4, No. 3, Hệ quả 3 của Mệnh đề 14) rằng $\Phi$ là hữu hạn, do đó $\Phi'$ là hữu hạn. Gọi $a$ là một iđêan của $A$ sao cho $\dim(A/a) < \dim(A)$. Với mọi $p \in \Phi'$, ta có $\dim(A/a) < \dim(A/p)$, do đó $a \not\subset p$. Bởi Mệnh đề 2 của II, § 1, No. 1, vì thế tồn tại một phần tử $x$ của $a$ không thuộc bất kỳ $p \in \Phi'$ nào, và khi đó ta có $\dim(A/xA) = \dim(A) - 1$ theo a). Điều này chứng minh b).

Mệnh đề c) là trường hợp riêng $a = m_A$ của b).

a) Nếu $M/SM$ có độ dài hữu hạn, ta có $\mathrm{Card}(S) \geqslant \dim_A(M)$; nếu $S$ là cát tuyến đối với $M$, ta có $\mathrm{Card}(S) \leqslant \dim_A(M)$.

b) Mọi tập con cát tuyến đối với $M$ đều được chứa trong một tập con cát tuyến cực đại đối với $M$.

c) Các tính chất sau là tương đương: (i) $S$ là một tập con cát tuyến cực đại đối với $M$; (ii) $S$ là một tập con cát tuyến đối với $M$ và $\mathrm{Card}(S) = \dim_A(M)$; (iii) $M/SM$ có độ dài hữu hạn và $\mathrm{Card}(S) = \dim_A(M)$; (iv) $S$ là một tập con cát tuyến đối với $M$ và $M/SM$ có độ dài hữu hạn.

Vì ta có $S \subset m_A$, bổ đề Nakayama cho thấy rằng ta có $M/SM \neq \{0\}$, do đó $\dim_A(M/SM) \geqslant 0$ với đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $M/SM$ có độ dài hữu hạn. Mệnh đề a) suy ra từ các công thức (8) và (9), cũng như từ tính tương đương của các tính chất (ii), (iii) và (iv).

Mệnh đề b) suy ra từ việc lực lượng của mọi tập con của $m_A$ cát tuyến đối với $M$ đều bị chặn trên bởi số nguyên $\dim_A(M)$.

Theo a), mọi tập con cát tuyến đối với $M$ có lực lượng bằng $\dim_A(M)$ đều là cực đại. Còn phải chứng minh rằng, nếu $S$ cát tuyến đối với $M$ và nếu $\mathrm{Card}(S) < \dim_A(M)$, thì $S$ không cực đại. Gọi $a$ là linh hóa tử của $M$, và $B$ là vành địa phương Noether $A/(a + SA)$. Theo hệ quả 2 của mệnh đề 2 của No. 1, tồn tại một phần tử $x$ của $m_A$ sao cho $\dim(B/xB) = \dim(B) - 1$; do đó $x \notin S$. Theo nhận xét 2, tập con $S \cup \{x\}$ của $m_A$ là cát tuyến đối với $A/a$, nên cũng cát tuyến đối với $M$ theo nhận xét 1.

Vì $\varnothing$ là một tập con cát tuyến đối với $M$, Định lý 1, b) chứng minh sự tồn tại của một dãy cát tuyến cực đại đối với $M$, chẳng hạn $(x_1, ..., x_d)$. Nhưng khi đó ta có $d = \dim_A(M)$ và A-môđun $M / \sum_{i=1}^d x_i M$ có độ dài hữu hạn theo tính chất (iii) của Định lý 1, c). Ngược lại, nếu $(x'_1, ..., x'_{d'})$ là một dãy các phần tử của $m_A$ sao cho A-môđun $M / \sum_{j=1}^{d'} x'_j M$ có độ dài hữu hạn, thì ta có $d' \geqslant \dim_A(M)$ theo Định lý 1, a).

Nhắc lại rằng (III, § 3, No. 2, Định nghĩa 1) một iđêan $q$ của một vành địa phương Noether $A$ là một iđêan xác định của $A$ nếu các tôpô $q$-adic và $m_A$-adic của $A$ trùng nhau.

(i) $q$ là một iđêan xác định của $A$; (ii) tồn tại một số nguyên $n \geqslant 0$ sao cho $m_A^n \subset q \subset m_A$;

(iii) ta có q ≠ A và A/q là một A-môđun có độ dài hữu hạn ; (iv) V(q) bằng { m_A } (nói cách khác, m_A là iđêan nguyên tố duy nhất của A chứa q).

Thật vậy, tính tương đương của (i), (ii) và (iv) đã được chứng minh trong III, § 2, No. 5, và tính tương đương của (i) và (iii) suy ra từ IV, § 2, No. 5, Hệ quả 2 của Mệnh đề 9.

Hệ quả của Định lý 1 do đó cho phép phát biểu chú giải sau đây:

a) Với mọi tập con đóng Y của V được chứa trong X', ta có

b) Ta có $\operatorname{codim}(Z, X) \leq m$ với mọi thành phần bất khả quy Z của X'. Nếu X' khác rỗng, ta có $\operatorname{codim}(X', X) \leq m$.

c) Nếu Z là một tập con đóng bất khả quy của V được chứa trong X sao cho $\operatorname{codim}(Z, X) \leq m$, thì tồn tại các siêu mặt $H'_1, ..., H'_m$ sao cho Z là một thành phần bất khả quy của $X \cap H'_1 \cap ... \cap H'_m$.

Cho α là một iđêan của A và $x_1, ..., x_m$ là các phần tử của A sao cho $X = V(\alpha)$ và $H_i = V(x_i)$ với $1 \leq i \leq m$. Cho Z là một tập con đóng bất khả quy của V được chứa trong X; tồn tại một iđêan nguyên tố p của A chứa α và sao cho $Z = V(p)$.

Trước hết giả sử rằng Z được chứa trong X' và ký hiệu bởi $\xi_i$ ảnh của $x_i$ trong vành địa phương Noether $B = A_p/\alpha A_p$. Theo Mệnh đề 7, b) của § 1, No. 3, ta có

Theo Mệnh đề 2 của No. 1, do đó ta có

(11)

Nếu Z là một thành phần bất khả quy của X', ta có $\operatorname{codim}(Z, X') = 0$, do đó $\operatorname{codim}(Z, X) \leq m$; điều này chứng minh b). Ta chứng minh a) bằng cách lấy ở cả hai vế của (11) cận dưới lớn nhất trên tập hợp các thành phần bất khả quy Z của Y.

1 Nhắc lại rằng $V(x)$ gồm các iđêan nguyên tố của A chứa x.

Ngược lại, giả sử rằng ta có codim(Z, X) $\leq m$, nghĩa là dim(B) $\leq m$. Vì mọi phần tử của $A_p$ là tích của một phần tử khả nghịch của $A_p$ với ảnh của một phần tử của A, chú giải của No. 2 chứng minh sự tồn tại của các phần tử $x'_1, ..., x'_m$ của A mà các ảnh của chúng trong B sinh một iđêan xác định của B. Đặt $H'_i = V(x'_i)$ với $1 \leq i \leq m$. Hiển nhiên là Z là một thành phần bất khả quy của $X \cap H'_1 \cap ... \cap H'_m$.

Ta có codim(H, V) = 1 khi và chỉ khi H không chứa thành phần bất khả quy nào của V. Nếu như vậy, mọi thành phần bất khả quy của H đều có đối chiều 1 trong V.

Với mọi thành phần bất khả quy Z của H, ta có

theo Mệnh đề 4, b), và ta có codim(Z, V) = 0 khi và chỉ khi Z là một thành phần bất khả quy của V. Theo định nghĩa ta có

trong đó Z chạy trên tập hợp các thành phần bất khả quy của H. Hệ quả 1 suy ra ngay từ các nhận xét này.

1) ta có $X \subset H$; 2) tập hợp $X \cap H$ khác rỗng và mỗi thành phần bất khả quy Z của nó thỏa mãn $\operatorname{codim}(Z, X) = 1$; 3) tập hợp $X \cap H$ là rỗng.

Giả sử $X' = X \cap H$ khác rỗng và khác X; mọi thành phần bất khả quy Z của $X'$ đều phân biệt với X và thỏa mãn $\operatorname{codim}(Z, X) \leq 1$ theo Mệnh đề 4, b). Hệ quả 2 suy ra ngay từ điều này.

Cho x là một phần tử cực biên của A. Khi đó Ax là một iđêan nguyên tố vì x là cực biên, có chiều cao 1 vì A là một miền nguyên (No. 1, Prop. 1). Cho p là một iđêan nguyên tố chiều cao 1 của A. Khi đó $V(p)$ là một thành phần bất khả quy của một siêu mặt $V(Ax)$ với một x thích hợp (Prop. 4, c)). Cho $x = \prod_i y_i^{n_i}$ là một phân tích của x thành một tích các phần tử cực biên sao cho $y_i$ và $y_j$ nguyên tố cùng nhau nếu $i \neq j$. Các thành phần bất khả quy của $V(Ax)$ là các $V(Ay_i)$. Do đó $p = Ay_i$ với một i thích hợp. Khẳng định cuối cùng suy ra từ Hệ quả 2 của Prop. 2 của No. 1.

Nếu cần, thay thế A bởi $A/p$, ta được đưa về trường hợp $p = \{0\}$.

Theo Bổ đề 1 của No. 1, ta có $q = \bigcup_{r \in E} r$, và Prop. 2 của II, $§ 1$, No. 1 cho thấy E là vô hạn.

Cho $y \neq 0$ là một phần tử của $\bigcap_{r \in E} r$. Chiều cao của q là hữu hạn (No. 1, Cor. 1 of Prop. 2), và ta có $\mathrm{ht}(q) \geq 2$ theo giả thiết. Do đó tồn tại một iđêan nguyên tố $q' \subset q$ có chiều cao 2. Phần đầu của chứng minh áp dụng cho $q'$ cho thấy tập E’ các iđêan nguyên tố chiều cao 1 được chứa trong $q'$ là vô hạn; theo giả thiết, mỗi iđêan ấy đều chứa y. Bây giờ vành địa phương Noether $B = A_{q'}/yA_{q'}$ có chiều 1 theo Hệ quả 2 của Prop. 2 của No. 1. Với mọi $r \in E'$, iđêan nguyên tố $r/yA_{q'}$ của B do đó là cực tiểu; do đó, vành Noether B có vô số iđêan nguyên tố cực tiểu, điều này vô lý (II, $§ 4$, No. 3, Cor. 3 of Prop. 14). Vậy $\bigcap_{r \in E} r = \{0\}$.

a) A có vô số iđêan nguyên tố chiều cao h.

b) Nếu A hữu hạn chiều, nó có vô số iđêan nguyên tố p sao cho $\mathrm{ht}(p) = h$ và $\dim(A/p) = \dim(A) - h$.

Vì chiều của A là cận trên bé nhất của các chiều cao của các iđêan nguyên tố của A ($§ 1$, no. 3, prop. 8), vì mọi iđêan nguyên tố của A đều có chiều cao hữu hạn (no. 1, cor. 1 of prop. 2), và vì $h < \dim(A)$, nên tồn tại một số nguyên $n > h$ và một iđêan nguyên tố p có chiều cao n, do đó một dây chuyền $p_0 \subset ... \subset p_n = p$ các iđêan nguyên tố có độ dài n. Ta có $\mathrm{ht}(p_i) = i$ với $0 \leq i \leq n$, do đó $\mathrm{ht}(r) = h$ với mọi iđêan nguyên tố r của A sao cho $p_{h-1} \subset r \subset p_{h+1}$ là một dây chuyền. Tập E của các iđêan ấy là vô hạn theo prop. 5, do đó suy ra a).

Nếu $A$ có số chiều hữu hạn, có thể giả sử rằng trong phần trước ta có $n = \dim(A)$. Với mọi iđêan $r \in E$, ta có $\mathrm{ht}(r) = h$, do đó $\dim(A/r) \leq n - h$, và vì $r \subset p_{h+1} \subset ... \subset p_n$ là một dãy độ dài $n - h$, nên ta có $\dim(A/r) = n - h$.

Tồn tại các vành nguyên không Noether có chiều 2 mà chỉ có một iđêan nguyên tố chiều cao 1, chẳng hạn một vành định giá có chiều cao 2 (VI, § 4, no. 4, mệnh đề 5).

Có thể giả sử $M$ và $N$ khác không. Theo hệ quả của định lý 1 (no. 2), tồn tại một tập con $S$ (ứng với $T$) của $m_A$ (ứng với $m_B$) sao cho $\mathrm{Card}(S) = \dim_A(M)$ (ứng với $\mathrm{Card}(T) = \dim_{\overline{B}}(\overline{N})$) và $M/SM$ là một $A$-môđun có độ dài hữu hạn (ứng với $\overline{N}/T\overline{N}$ là một $B$-môđun có độ dài hữu hạn). Ta có $\rho(S) \subset m_B$. Gọi $E$ là $B$-môđun $M \otimes_A N$; $B$-môđun $E/(\rho(S).E + T.E)$ đẳng cấu với $M/SM \otimes_A N/TN$, nên có độ dài hữu hạn: theo các mệnh đề 18 và 19 của II, § 4, no. 4, ta có

Suy ra, theo định lý 1, ta có bất đẳng thức

Bây giờ giả sử $N$ phẳng trên $A$, và hãy chứng minh rằng có đẳng thức trong công thức (12). Gọi $a$ (ứng với $b$) là linh hóa tử của $M$ (ứng với $N$). Theo các mệnh đề 18 và 19 của II, § 4, no. 4, ta có

Do đó

và cũng có

và vì vành $B'/\rho'(\mathfrak{m}_{A'}).B'$ đẳng cấu với $B/(b + \rho(\mathfrak{m}_A).B)$, mệnh đề của ta suy ra từ các công thức (13), (14) và (15).

a) Ta có

nếu $\rho$ biến $B$ thành một $A$-môđun phẳng thì có đẳng thức.

b) Giả sử rằng $\rho$ làm cho $B$ thành một A-môđun phẳng, và gọi $S$ là một tập con của $\mathfrak{m}_A$. Khi đó $S$ là cát tuyến đối với $A$ nếu và chỉ nếu $\rho(S)$ là cát tuyến đối với $B$.

Mệnh đề a) là trường hợp riêng $M = A, N = B$ của Mệnh đề 7. Ta hãy chứng minh b). Dưới các giả thiết đã nêu, ta có

với $\overline{B} = B \otimes_A \kappa_A = B/\rho(\mathfrak{m}_A).B$. Vì $\rho$ là đơn ánh (I, § 3, No. 5, Mệnh đề 9), ta có

Cuối cùng $B' = B/\rho(S).B$ là một môđun phẳng trên $A' = A/SA$, do đó

vì $B'/\rho(\mathfrak{m}_{A'}).B'$ đẳng cấu với $\overline{B}$. Mệnh đề cần chứng minh suy ra ngay từ các công thức (17), (18) và (19).

Gọi $q$ là một iđêan nguyên tố của $B$ và $p = \rho^{-1}(q)$. Theo Hệ quả 1, ta có $\dim(B_q) \leq \dim(A_p) + \dim(B_q \otimes_A \kappa(p))$. Suy ra (Mệnh đề 6, b) của § 1, No. 3) ta có bất đẳng thức $\dim(B_q) \leq \dim(A) + \dim(B \otimes_A \kappa(p))$, và kết luận nhờ Mệnh đề 8 của § 1, No. 3.

Đặt $B = A[X_1, ..., X_n]$. Với mọi iđêan nguyên tố $p$ của $A$, vành $B \otimes_A \kappa(p)$ là một vành đa thức theo $n$ biến trên một trường, nên có chiều $n$ ($§ 2$, No. 4, Hệ quả 1 của Định lý 3). Theo Hệ quả 2, ta có $\dim(B) \leqslant \dim(A) + n$; bất đẳng thức ngược lại suy ra từ Ví dụ 4 của $§ 1$, No. 3.

Nếu $B$ phẳng trung thành trên $A$, thì $^a\rho$ là toàn ánh (II, $§ 2$, No. 5, Hệ quả 4 của Mệnh đề 11) và ta có $\text{ht}(a) \leqslant \text{ht}(\rho(a).B)$ ($§ 2$, No. 1, hệ quả của Mệnh đề 2).

Vậy còn phải chứng minh bất đẳng thức (20) dưới giả thiết $^a\rho$ là toàn ánh. Cho $p$ là một iđêan nguyên tố của $A$ sao cho $a \subset p$ và $\text{ht}(a) = \text{ht}(p)$ ($§ 1$, no 3, mệnh đề 7). Đặt $\overline{B} = B \otimes_A \kappa(p)$ và ký hiệu bởi $h$ đồng cấu chính tắc từ $B$ vào $\overline{B}$. Nếu $X = {}^a\rho^{-1}(p)$ là tập hợp khác rỗng các iđêan nguyên tố của $B$ nằm trên $p$, thì ta đã biết ($§ 2$, no 1, bổ đề 1) rằng ánh xạ $^ah$ là một đồng phôi từ $\mathrm{Spec}(\overline{B})$ lên không gian con $X$ của $\mathrm{Spec}(B)$. Cho $q$ là ảnh qua $^ah$ của một iđêan nguyên tố cực tiểu của $\overline{B}$; ta có $\dim(B_q \otimes_A \kappa(p)) = 0$ và Hệ quả 1 cho bất đẳng thức $\dim(B_q) \leqslant \dim(A_p) = \text{ht}(p) = \text{ht}(a)$, cuối cùng