(i) la suite $x$ est complètement sécante pour $A$ ; (ii) (resp. (ii')) pour tout idéal premier (resp. maximal) $p \in V(J)$, l’image de $x$ dans $A_p$ est complètement sécante pour $A_p$ ; (iii) (resp. (iii')) pour tout idéal premier (resp. maximal) $p \in V(J)$, l’idéal $J$ est complètement sécant en $p$ et l’image de $x$ dans le $\kappa(p)$-espace vectoriel $\kappa(p) \otimes_A J$ en forme une base.

Lorsque $A$ est noethérien, ces conditions sont encore équivalentes à :

(iv) pour tout entier $n \geq 0$, le $A/J$-module $J^n / J^{n+1}$ est libre, et les images des monômes $x_1^{\alpha_1} \ldots x_r^{\alpha_r}$ de degré total $n$ en forment une base.

Soit $p$ un idéal premier de $A$ ; notons $x_p$ l’image dans $A_p$ de la suite $x$. Pour tout entier $i \geq 0$, le $A_p$-module $H_i(x_p, A_p)$ est isomorphe à $(H_i(x, A))_p$ (A, X, p. 151, 2)) ; il est nul si $p$ ne contient pas $J$, puisqu’on a alors $J_p = A_p$ (A, X, p. 148, cor. 2). L’équivalence de (i), (ii) et (ii') résulte de là et de II, § 3, n° 3, cor. 2 du th. 1. D’autre part l’équivalence de (ii) et (iii) et celle de (ii') et (iii') résultent du § 1, n° 3, cor. 2 du th. 1.

L’implication (i) $\Rightarrow$ (iv) est une conséquence du th. 1 de A, X, p. 160. Enfin la condition (iv) implique par localisation la condition analogue pour les $(A_p/J_p)$-modules $J_p^n / J_p^{n+1}$ pour tout $p \in V(J)$, et celle-ci entraîne (ii) d’après le cor. 1 de A, X, p. 160.

(i) l’idéal J est complètement sécant ; (ii) l’idéal J est complètement sécant en tout idéal maximal $m \in V(J)$ ; (iii) le $A/J$-module $J/J^2$ est projectif et l’homomorphisme canonique $\alpha_J : S_A(J) \longrightarrow \bigoplus_{n \in \mathbf{N}} J^n$ est bijectif ; (iv) le $A/J$-module $J/J^2$ est projectif et l’homomorphisme canonique $\beta_J : S_{A/J}(J/J^2) \longrightarrow \operatorname{gr}_J(A)$ est bijectif.

(i) ⇒ (ii) : c’est trivial.

(ii) ⇒ (iii) : supposons la condition (ii) satisfaite. Il suffit de prouver que pour tout idéal maximal m de A, le A_m/J_m-module J_m/J_m^2 est libre et l’homomorphisme $\alpha_{J_m} : S_{A_m}(J_m) \longrightarrow \bigoplus_n J_m^n$ est bijectif (II, § 5, n° 2, th. 1 et § 3, n° 3, th. 1). Mais ces assertions sont triviales lorsque m n’appartient pas à V(J) puisqu’on a alors J_m = A_m, et elles résultent de A, X, p. 160, th. 1 et p. 161, remarque, lorsque m appartient à V(J).

(iii) ⇒ (iv) : c’est clair.

(iv) ⇒ (i) : supposons la condition (iv) satisfaite ; soit p un idéal premier de A contenant J. Alors le A_p/J_p-module J_p/J_p^2 est libre. Soit x = (x_1, ..., x_r) une suite d’éléments de J_p relevant une base de J_p/J_p^2. La suite x engendre J_p (lemme de Nakayama), et satisfait par construction à la condition (iv) de la prop. 1. Par suite l’idéal J_p de A_p est complètement sécant, et J est complètement sécant en p.

En effet, l’application canonique gr_J(A) → gr_J(\hat{A}) est un isomorphisme d’anneaux gradués ; il suffit donc d’appliquer le critère (iv).

Plus généralement :

a) Si J est complètement sécant, l’idéal JB de B est complètement sécant.

b) Supposons que l’idéal JB de B soit complètement sécant et que tout idéal maximal m ∈ V(J) soit l’image réciproque d’un idéal maximal de B. Alors l’idéal J est complètement sécant. C’est le cas par exemple si B est un A-module fidèlement plat.

Remarquons d’abord que, puisque le A-module B est plat, $J^n \otimes_A B$ s’identifie à $J^nB$ et $(J^n/J^{n+1}) \otimes_{A/J} (B/JB)$ à $J^nB/J^{n+1}B$ pour tout entier $n \geq 0$. L’assertion a) résulte alors du critère (iii). Sous les hypothèses de b), le A/J-module B/JB est fidèlement plat (I, § 2, n° 7, cor. 2 de la prop. 8 et § 3, n° 5, prop. 9) et J est complètement sécant d’après le critère (iv), compte tenu de I, § 3, n° 1, prop. 2 et n° 6, prop. 12. La dernière assertion résulte de la prop. 8 de I, § 3, n° 5.

Soit en effet $m$ un idéal maximal de $A$ contenant $J$. L’idéal $J_m$ de $A_m$ est engendré par une suite $A_m$-régulière ; donc $(A/J)_m$ est un anneau de Macaulay (resp. de Gorenstein) d’après l’exemple 6 du § 2, n° 5 (resp. l’exemple 2 du § 3, n° 9).

(i) $A$ est régulier ; (ii) tout idéal maximal de $A$ est complètement sécant ; (iii) tout idéal $J$ de $A$ tel que $A/J$ soit régulier est complètement sécant.

(i) $\Rightarrow$ (iii) : supposons l’anneau $A$ régulier ; soit $J$ un idéal de $A$ tel que $A/J$ soit régulier et soit $p$ un idéal premier de $A$ contenant $J$. Alors les anneaux locaux $A_p$ et $A_p/J_p$ sont réguliers, donc $J_p$ est engendré par une suite complètement sécante pour $A_p$ (VIII, § 5, n° 3, cor. 2 et prop. 2), ce qui signifie que $J$ est complètement sécant en $p$.

(iii) $\Rightarrow$ (ii) : c’est clair puisqu’un corps est un anneau régulier.

(ii) $\Rightarrow$ (i) : soit $m$ un idéal maximal de $A$ ; sous l’hypothèse (ii), l’idéal maximal $mA_m$ de $A_m$ est engendré par une suite complètement sécante pour $A_m$, donc $A_m$ est régulier (VIII, § 5, n° 2, th. 1). Par conséquent $A$ est régulier.

(i) l’idéal $J$ est complètement sécant ; (ii) pour tout idéal premier (resp. maximal) $p$ de $A$ contenant $J$, l’anneau $A_p$ est régulier ; (iii) l’anneau séparé complété de $A$ pour la topologie $J$-adique est régulier.

D’après le th. 1, la condition (i) signifie que pour tout idéal premier (resp. maximal) $p$ de $A$ contenant $J$, l’idéal $J_p$ de l’anneau local $A_p$ est engendré par une suite complètement sécante pour $A_p$. Puisque $A_p/J_p$ est régulier par hypothèse, cette dernière condition équivaut à ce que $A_p$ soit régulier (VIII, § 5, n° 3, prop. 2 et son cor. 2) ; cela prouve l’équivalence de (i) et (ii). L’équivalence de (ii) et (iii) résulte du § 4, n° 2, cor. 3 de la prop. 4.

a) L’idéal $J$ est complètement sécant, le $A_0$-module $J/J^2$ est projectif de type fini, et l’anneau $A_0$ est régulier.

b) Soit $\varphi : J/J^2 \to J$ une section $A_0$-linéaire de la surjection canonique $J \to J/J^2$. L’homomorphisme de $A_0$-algèbres $S_{A_0}(J/J^2) \longrightarrow A$ prolongeant $\varphi$ s’étend en un isomorphisme du complété de l’anneau gradué $S_{A_0}(J/J^2)$ sur le séparé complété de $A$ pour la topologie $J$-adique.

a) Soit $\mathfrak{p}$ un idéal premier de $A$ contenant $J$. On a $\mathfrak{p} = (\mathfrak{p} \cap A_0) \oplus J$ et par suite $\mathfrak{p}^2 = (\mathfrak{p} \cap A_0)^2 \oplus \mathfrak{p}J$, donc $\mathfrak{p}^2 \cap J = \mathfrak{p}J$. Notons $i$ l’injection canonique de $J$ dans $\mathfrak{p}$. D’après ce qui précède l’application $i \otimes 1_{A/\mathfrak{p}} : J \otimes_A A/\mathfrak{p} \longrightarrow \mathfrak{p} \otimes_A A/\mathfrak{p}$ est injective, et il en est de même de $i_p \otimes 1_{\kappa(\mathfrak{p})} : J_p \otimes_{A_p} \kappa(\mathfrak{p}) \longrightarrow \mathfrak{p}A_p \otimes_{A_p} \kappa(\mathfrak{p})$. Le lemme de Nakayama implique que l’idéal $J_p$ de $A_p$ est engendré par une partie d’un système de coordonnées de l’anneau local régulier $A_p$. D’après la prop. 2 de VIII, § 5, n° 3, l’anneau $A_p/J_p$ est régulier et l’idéal $J_p$ est complètement sécant. Ainsi $J$ est complètement sécant, l’anneau $A_0$, isomorphe à $A/J$, est régulier, et le $A_0$-module $J/J^2$ est projectif de type fini d’après le th. 1 (n° 2).

b) Il résulte du th. 1 que l’homomorphisme canonique $\beta_J : S_{A_0}(J/J^2) \longrightarrow \mathrm{gr}_J(A)$ est bijectif. Soit $f : S_{A_0}(J/J^2) \longrightarrow A$ l’homomorphisme de $A_0$-algèbres prolongeant l’application $A_0$-linéaire $\varphi : J/J^2 \longrightarrow J$. Si l’on munit $A$ de la filtration $J$-adique et $S_{A_0}(J/J^2)$ de la filtration associée à sa graduation, $\beta_J$ s’identifie à l’homomorphisme déduit de $f$ par passage aux gradués associés. L’assertion b) résulte alors de III, § 2, n° 8, cor. 3 du th. 1.

Notons $P$ le $A_0$-module gradué $A_+/A_+^2$. D’après la prop. 4 du n° 3, l’anneau $A_0$ est régulier et le $A_0$-module $P$ est projectif et de type fini. Les composants homogènes de $P$ sont donc projectifs et il existe une section $A_0$-linéaire $\varphi : P \to A_+$, graduée de degré 0 , de la surjection canonique $A_+ \to P$. Soit $f : S_{A_0}(P) \longrightarrow A$ l’homomorphisme de $A_0$-algèbres graduées qui prolonge $\varphi$. D’après la prop. 4, $f$ s’étend en un isomorphisme du séparé complété de $S_{A_0}(P)$ pour la topologie $S_{A_0}(P)_+$-adique sur le séparé complété de $A$ pour la topologie $A_+$-adique. Par conséquent, $f$ est injectif et son image est dense dans $A$ pour la topologie $A_+$-adique. Mais puisque les topologies induites sur les composants homogènes de $A$ sont discrètes et que l’image de $f$ est un sous-module gradué, cela implique que $f$ est bijectif.

D’après le th. 2, l’anneau $B_0$ est régulier, donc produit d’anneaux réguliers intègres ($§ 4$, n° 2, exemple 2). Pour tout élément idempotent $e$ de $B_0$, le $B_0$-module $B_0e$ est projectif, donc libre, ce qui entraîne $e = 0$ ou $1$; ainsi $B_0$ est intègre. L’assertion a) résulte alors du théorème 2 et de ce qu’un $B_0$-module gradué et projectif de type fini est gradué libre.

Démontrons b).

(i) $\Leftrightarrow$ (ii) : les $A_0$-modules gradués plats et de type fini sont gradués libres (II, $§ 5$, n° 2, cor. 2 du th. 1). L’équivalence de (i) et (ii) résulte donc de A, X, p. 144, prop. 8.

(ii) $\Leftrightarrow$ (iii) : puisque $B$ est entier sur $A$ et est une $A_0$-algèbre de type fini, $A$ est une $A_0$-algèbre de type fini (V, $§ 1$, n° 9, lemme 5), donc un anneau noethérien. L’équivalence de (ii) et (iii) résulte alors du cor. de la prop. 8 du $§ 4$, n° 5 et de a) appliqué à $A$.

Les implications (i) $\Rightarrow$ (ii) et (ii) $\Rightarrow$ (iii) sont claires, et l’implication (iii) $\Rightarrow$ (i) résulte de A, X, p. 144, prop. 8, a).

(i) ⇒ (iv) : puisque l’anneau B est régulier et fidèlement plat sur A, l’anneau A est noethérien d’après la prop. 11 de I, , n° 6 et régulier d’après la prop. 8 du § 4, n° 5, donc est une k-algèbre graduée de polynômes (cor. 1, a)). Toute suite génératrice algébriquement libre de A est A-régulière (A, X, p. 158, exemple), donc B-régulière puisque B est plat sur A

(iv) ⇒ (iii) : supposons la condition (iv) satisfaite, et soit x une suite génératrice algébriquement libre de A formée d’éléments homogènes. La suite x, étant A-régulière, est complètement sécante pour A (A, X, p. 157, prop. 5), de sorte que le A-module Tor_1^A(k, B) est isomorphe à H_1(x, B) (A, X, p. 159, remarque 3) ; mais ce dernier est nul, puisque la suite x est B-régulière.

Les corollaires 1 et 2 impliquent le lemme 5 de LIE, V, § 5, n° 5.

(i) l’homomorphisme u fait de N un A[T_1, ..., T_r]-module plat ; (ii) le A-module N est plat et, pour tout A-module M, la suite x est M ⊗_A N-régulière ; (iii) le A-module N est plat et la suite x est κ_A ⊗_A N-régulière ; (iv) le A-module N/(x_1N + ... + x_rN) est plat et la suite x est N-régulière.

(i) ⇒ (ii) : posons T = (T_1, ..., T_r). Supposons que le A[T]-module N soit plat. Puisque A[T] est plat sur A, le A-module N est plat (I, § 2, n° 7, cor. 3 de la prop. 8). Soit M un A-module. La suite T est évidemment M[T]-régulière, donc M[T] ⊗_{A[T]} N-régulière, puisque N est plat sur A[T]. Or le A[T]-module M[T] ⊗_{A[T]} N s’identifie à M ⊗_A N, l’homothétie de rapport T_i correspondant à l’endomorphisme 1_M ⊗ (x_i)_N. La condition (ii) est donc satisfaite.

(ii) ⇒ (iii) : c’est trivial.

(iii) ⇒ (iv) : cela résulte de la prop. 10 du § 1, n° 6.

(iv) ⇒ (i) : notons t l’idéal de A[T] engendré par T. Le (A[T]/t)-module N/tN est plat par hypothèse et N est idéalement séparé pour t (III, § 5, n° 4, prop. 2). Pour démontrer que N est plat sur A[T], il suffit de prouver, vu le th. 1 de loc. cit., n° 2, que le A-module Tor_1^{A[T]}(A[T]/t, N) est nul. Mais puisque la suite T est A[T]-régulière, ce module est isomorphe à H_1(T, N) (A, X, p. 159, remarque 3), qui est nul puisque la suite T est N-régulière (loc. cit., p. 157, prop. 5).

(i) la suite $x$ est $M$-régulière ; (ii) l’homomorphisme $u$ fait de $M$ un $k[T_1, \ldots, T_r]$-module plat ; (iii) l’homomorphisme $\hat{u}$ fait de $\hat{M}$ un $k[[T_1, \ldots, T_r]]$-module plat. L’équivalence de (i) et (ii) résulte de l’équivalence des conditions (i) et (iv) de la prop. 5 ; l’équivalence de (ii) et (iii) résulte de III, § 5, n° 4, prop. 4.

Ces résultats permettent de caractériser les modules macaulayens dans deux cas importants. Notons $A$ un anneau local noethérien, $M$ un $A$-module de type fini. Il est équivalent de dire que le $A$-module $M$ est macaulayen ou que le $\widehat{A}$-module $\hat{M}$ est macaulayen (§ 2, n° 7, cor. 4 de la prop. 8). Nous supposerons désormais que l’anneau local noethérien $A$ est complet.

1) Supposons d’abord que $A$ possède un sous-corps ; il admet alors un corps de représentants $k$ (IX, § 3, n° 3, th. 1). Soit $(x_1, \ldots, x_r)$ une suite sécante maximale pour $M$ ; notons $u : k[[T_1, \ldots, T_r]] \longrightarrow A$ l’unique homomorphisme continu tel que $u(T_i) = x_i$ pour $i = 1, \ldots, r$. D’après le lemme 4 b) de IX, § 2, n° 5 et la remarque 1 de VIII, § 3, n° 2, $A/\mathrm{Ann}(M)$ est un $k[[T_1, \ldots, T_r]]$-module de type fini et par suite $M$ est un $k[[T_1, \ldots, T_r]]$-module de type fini. Cela étant, les conditions suivantes sont équivalentes : (i) le $k[[T_1, \ldots, T_r]]$-module $M$ est libre ; (ii) le $A$-module $M$ est macaulayen.

En effet, il est équivalent de dire que $M$ est un $A$-module macaulayen ou que la suite $(x_1, \ldots, x_r)$ est $M$-régulière (§ 2, n° 3, th. 1). D’après le cor. ci-dessus, cette dernière condition signifie que le $k[[T_1, \ldots, T_r]]$-module $M$ est plat, ou encore qu’il est libre puisqu’il est de type fini.

2) Supposons que le corps résiduel $\kappa_A$ de $A$ soit de caractéristique $p > 0$ et que l’on ait $\dim(M/pM) < \dim(M)$. Soit $(x_1, \ldots, x_r)$ une suite sécante maximale pour $M/pM$, de sorte que $(p1_A, x_1, \ldots, x_r)$ est une suite sécante maximale pour $M$. Soit $C$ un $p$-anneau de longueur $+\infty$, de corps résiduel $\kappa_A$ (IX, § 2, n° 3, prop. 5). Il existe un homomorphisme $u_0$ de $C$ dans $A$ qui induit l’identité sur les corps résiduels ; soit $u : C[[T_1, \ldots, T_r]] \longrightarrow A$ l’unique homomorphisme prolongeant $u_0$ et appliquant $T_i$ sur $x_i$ pour tout $i$. Il résulte comme précédemment de loc. cit., n° 5, lemme 4 que $u$ fait de $M$ un $C[[T_1, \ldots, T_r]]$-module de type fini. Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) le $C[[T_1, \ldots, T_r]]$-module $M$ est libre ; (ii) le $A$-module $M$ est macaulayen.

En effet la condition (ii) équivaut à dire que la suite $(x_1, \ldots, x_r)$ est $M$-régulière et que l’homothétie de rapport $p$ dans $M/(x_1M + \ldots + x_rM)$ est injective (§ 2, n° 3, th. 1). Or cette dernière condition signifie que le $C$-module $M/(x_1M + \ldots + x_rM)$ est sans torsion, donc plat ($A$, X, p. 9, exemple 7). Ainsi, compte tenu de la prop. 5, (iv) $\Leftrightarrow$ (i), la condition (ii) équivaut au fait que le $C[T_1, \ldots, T_r]$-module $M$ est plat, ou encore (III, § 5, n° 4, prop. 4) que le $C[[T_1, \ldots, T_r]]$-module $M$ est plat, c’est-à-dire libre puisqu’il est de type fini.

(i) le $A$-module $B/J$ est plat et l’idéal $J$ est complètement sécant ;

(ii) pour tout $q \in V(J)$, le $A$-module $B_q$ est plat et, pour toute $A$-algèbre $A'$ telle que l’anneau $A' \otimes_A B$ soit noethérien, l’idéal $J(A' \otimes_A B)$ de $A' \otimes_A B$ est complètement sécant ;

(iii) pour tout idéal maximal $n$ de $B$ contenant $J$, le $A$-module $B_n$ est plat et l’idéal $J(\kappa(\rho^{-1}(n)) \otimes_A B_n)$ de $\kappa(\rho^{-1}(n)) \otimes_A B_n$ est complètement sécant.

D’après le th. 1 du n° 2, la condition (i) équivaut à la condition (i') (resp. (i'')) suivante :

(i') (resp. (i'')) pour tout idéal premier (resp. maximal) $q$ de $B$ contenant $J$, le $A_{\rho^{-1}(q)}$-module $B_q/J_q$ est plat et l’idéal $J_q$ de $B_q$ est engendré par une suite $B_q$-régulière.

(i') $\Rightarrow$ (ii) : supposons (i') vérifiée. Soit $A'$ une $A$-algèbre telle que l’anneau $B' = A' \otimes_A B$ soit noethérien. Soit $q$ un idéal premier de $B$ contenant $J$; posons $p = \rho^{-1}(q)$. Puisque $B'_q$ s’identifie à $A'_p \otimes_{A_p} B_q$, il résulte de l’implication (iv) $\Rightarrow$ (ii) de la prop. 5 (n° 5) que l’idéal $JB'_q$ de $B'_q$ est engendré par une suite $B'_q$-régulière et que $B_q$ est plat sur $A_p$, donc sur $A$. Par ailleurs, pour tout idéal premier $r$ de $B'$ contenant $JB'$, l’image réciproque $q$ de $r$ dans $B$ contient $J$ et $B'_r$ s’identifie à un anneau de fractions de $B'_q$. Ainsi $JB'_r$ est un idéal complètement sécant de $B'_r$ et $JB'$ est un idéal complètement sécant de $B'$.

(ii) $\Rightarrow$ (iii) : c’est trivial.

(iii) $\Rightarrow$ (i'') : supposons (iii) vérifiée. Soit $n$ un idéal maximal de $B$ contenant $J$; posons $m = \rho^{-1}(n)$. Soit $x$ une suite d’éléments de $J_n$ dont les images dans $J_n/nJ_n$ forment une base de ce $\kappa(n)$-espace vectoriel. La suite $x$ engendre $J_n$; d’après la prop. 1 du n° 1, elle est $(\kappa(m) \otimes_A B_n)$-régulière. Comme le $A_m$-module $B_n$ est plat par hypothèse, il résulte de l’implication (iii) $\Rightarrow$ (iv) de la prop. 5 que la condition (i'') est satisfaite.