Soit $x = (x_1, \ldots, x_n)$ un système de coordonnées de $A$ (VIII, § 5, n° 1, déf. 1). La suite $x$ engendre $m_A$ et est complètement sécante pour $A$ (loc. cit., n° 2, th. 1). Le complexe de Koszul $K_\bullet(x, A)$ est une résolution libre de $\kappa_A$ (A, X, p. 159, remarque 3), dont la différentielle est nulle modulo $m_A$. Pour tout entier $i \geqslant 0$, on a donc ($§ 3$, n° 3, formule (1))

Il résulte alors du cor. 1 de la prop. 4 du n° 3, § 3 que $\mathrm{dh}(A) = n$.

D’après la prop. 1, tout module de type fini sur un anneau local noethérien régulier admet une résolution projective de longueur finie par des modules projectifs de type fini, donc libres (II, § 3, n° 2, cor. 2 de la prop. 5). Il résulte alors de VII, § 4, n° 7, cor. 3 de la prop. 16 qu’un tel anneau est factoriel.

En effet, $M$ est de dimension projective finie (prop. 1), et l’on a $\mathrm{prof}(A) = \dim(A)$ puisque $A$ est un anneau de Macaulay ($§ 2$, n° 5, exemple 7). On applique alors le th. 1 du § 3, n° 5.

En effet, un anneau local noethérien régulier est intégralement clos (VIII, § 5, n° 2, cor. 1 du th. 1). Le corollaire 3 résulte donc du corollaire 2 et du § 1, n° 10, prop. 16.

En effet, on a $\dim(B) = \dim_A(B)$ (VIII, § 2, n° 3, th. 1) ; par ailleurs, $B$ est un anneau de Macaulay si et seulement si c’est un $A$-module de Macaulay (§ 2, n° 6, prop. 8). Il suffit donc d’appliquer les corollaires 1 et 2.

Nous avons vu qu’un anneau local noethérien régulier est de dimension homologique finie (prop. 1).

Inversement, soit $A$ un anneau local noethérien de dimension homologique finie $n$; d’après le § 3, n° 3, cor. 2 de la prop. 4 et n° 5, th. 1, on a

Si $n = 0$, le $A$-module $\kappa_A$ est libre, donc $m_A = 0$ et $A$ est un corps. Supposons $n > 0$ et raisonnons par récurrence sur $n$. Puisque $\mathrm{prof}(A) > 0$, l’idéal $m_A$ n’est pas associé à $A$ ($§ 1$, n° 1, remarque 2), donc n’est pas contenu dans la réunion de $m_A^2$ et des idéaux associés à $A$ (II, $§ 1$, n° 1, prop. 2). Par conséquent (IV, $§ 1$, n° 1, cor. 2 de la prop. 2), on peut trouver un élément $x$ de $m_A - m_A^2$ tel que l’homothétie $x_A$ soit injective. Notons $B$ l’anneau local noethérien $A/xA$ et considérons la suite de $A$-modules où l’application $i$ est déduite par passage aux quotients de l’application $a \mapsto ax$ de $A$ dans $m_A$ et où $p$ est la surjection canonique ; elle est exacte. Puisque la classe de $x$ dans le $\kappa_A$-espace vectoriel $m_A/m_A^2$ n’est pas nulle, il existe une application $A$-linéaire $\phi : m_A \to \kappa_A$ avec $\phi(x) = 1$; par passage au quotient, on déduit de $\phi$ une rétraction de $i$, de sorte que la suite exacte précédente est scindée. Cela entraîne les relations (cor. 2 de la prop. 7 du $§ 3$, n° 4 et $A$, X, p. 135, cor. 1). Le cor. 2 de loc. cit. appliqué à la suite exacte de $B$-modules $0 \to m_B \to B \to \kappa_B \to 0$ entraîne $\mathrm{dp}_B(\kappa_B) < +\infty$. L’anneau $B$ est donc de dimension homologique finie ($§ 3$, n° 3, cor. 2 de la prop. 4), et de profondeur $n - 1$ ($§ 1$, n° 4, prop. 7 et n° 3, cor. de la prop. 4). Il résulte de l’hypothèse de récurrence que $B$ est régulier, donc que $A$ est régulier (VIII, $§ 5$, n° 3, cor. 1 de la prop. 2).

Par conséquent, si $A$ est un anneau local noethérien, il y a équivalence entre les trois propriétés suivantes : (i) $A$ est régulier ; (ii) le $A$-module $\kappa_A$ est de dimension projective finie ; (iii) tout $A$-module de type fini est de dimension projective $< +\infty$.

Soit $\mathfrak{p}$ un idéal premier de $A$; si le $A$-module $A/\mathfrak{p}$ est de dimension projective finie, il en est de même du $A_{\mathfrak{p}}$-module $\kappa(\mathfrak{p})$ d’après le cor. 1 de la prop. 3 du , n° 2, de sorte que l’anneau local $A_{\mathfrak{p}}$ est régulier (th. 1). On en déduit que (ii) implique (iv) et que (iii) implique (i). Les implications (iv) $\Rightarrow$ (i) et (ii) $\Rightarrow$ (iii) sont claires

Prouvons que (i) implique (ii). Soit $M$ un $A$-module de type fini. Sous l’hypothèse (i), on a $\mathrm{dp}_{A_m}(M_m) \leq \mathrm{dh}(A_m) < +\infty$ pour tout idéal maximal $m$ de $A$ (n° 1, prop. 1) ; donc $M$ est de dimension projective $< +\infty$ ($§ 3$, n° 2, cor. 2 de la prop. 3), d’où (ii).

(i) on a $\mathrm{dh}(A) < +\infty$ ; (ii) $A$ est régulier et l’on a $\dim(A) < +\infty$.

Si ces conditions sont réalisées, on a $\dim(A) = \mathrm{dh}(A)$.

Si l’anneau $A$ est régulier, on a pour tout idéal maximal $m$ de $A$ l’égalité $\dim(A_m) = \mathrm{dh}(A_m)$ (n° 1, prop. 1), et donc

($§ 3$, n° 2, prop. 3 et VIII, $§ 1$, n° 3, prop. 8). D’autre part, si $\mathrm{dh}(A) < +\infty$, l’anneau $A$ est régulier d’après la prop. 4. Le corollaire en résulte.

Il existe des anneaux noethériens réguliers de dimension infinie (VIII, $§ 5$, exerc. 6).

En effet, un anneau local régulier est intégralement clos (VIII, $§ 5$, n° 2, cor. 1 du th. 1), de Gorenstein ($§ 3$, n° 9, exemple 4) et de Macaulay ($§ 2$, n° 5, exemple 6).

a) Pour que l’anneau $\hat{A}$ soit régulier, il faut et il suffit que, pour tout idéal maximal $m$ de $A$ contenant $J$, l’anneau $A_m$ soit régulier.

b) Si l’anneau $A$ est régulier, l’anneau $\hat{A}$ est régulier. Si l’anneau $\hat{A}$ est régulier et l’idéal $J$ contenu dans le radical de $A$, l’anneau $A$ est régulier.

D’après la prop. 8 de III, , n° 4, pour que l’anneau $\hat{A}$ soit régulier, il faut et il suffit qu’il en soit ainsi de $\hat{A}_m$ pour tout idéal maximal $m$ de $A$ contenant $J$. Comme les complétés des anneaux locaux $\hat{A}_m$ et $A_m$ sont isomorphes (loc. cit.), l’assertion a) résulte de VIII, § 5, n° 1, cor. de la prop. 1. L’assertion b) résulte de a)

Soient $p$ un idéal premier de $S_A(P)$ et $q$ son image réciproque dans $A$. L’anneau local $S_A(P)_p$ est un anneau de fractions de l’anneau $S_A(P)_q$, qui est isomorphe à $S_{A_q}(P_q)$ (A, III, p. 72, prop. 7); il suffit de prouver que ce dernier est régulier. Cela nous ramène au cas où $A$ est local ; mais alors $P$ est libre de type fini. D’après la prop. 1 du n° 1 et A, X, p. 143, cor. 1, on a $dh(S_A(P)) = dh(A) + rg_A(P) < +\infty$, et $S_A(P)$ est régulier d’après la prop. 4.

Cela résulte du cor. 4 et du cor. 3 b).

Il s’agit de prouver que, pour tout idéal maximal $m$ de $A$, le $A_m$-module $N_m$ est libre (II, § 5, n° 2, th. 1). Le $A$-module $B/\mathrm{Ann}_B(N)$ est un sous-module du $A$-module de type fini $\mathrm{End}_A(N)$, donc est de type fini. Si l’on remplace $B$ par $B/\mathrm{Ann}_B(N)$, les hypothèses de la proposition sont encore vérifiées ($§ 2$, n° 1, exemple 5); on peut donc supposer que $B$ est un $A$-module de type fini et que $\mathrm{Supp}_B(N) = \mathrm{Spec}(B)$.

Soit $m$ un idéal maximal de $\mathrm{Supp}_A(N)$; posons $n = \dim(A_m)$. D’après le cor. 2 de la prop. 3 du n° 1, il suffit de prouver que $N_m$ est un $A_m$-module macaulayen de dimension $n$. Tout idéal maximal de $B_m$ est de la forme $nB_m$, où $n$ est un idéal premier de $B$ au-dessus de $m$ (V, § 2, n° 1, lemme 1 et prop. 1). Soit $p$ un idéal premier minimal de $\mathrm{Supp}_B(N)$, contenu dans $n$. La partie fermée $V(pB_n)$ de $\mathrm{Supp}_{B_n}(N_n)$ est alors de codimension nulle; le $B_n$-module $N_n$ étant macaulayen, le cor. de la prop. 2, § 2, n° 2 entraîne l’égalité $\dim_{B_n}(N_n) = \dim(B_n/pB_n)$. Mais $p$ est au-dessus d’un idéal premier minimal de $A$, contenu dans $m$, de sorte que pB_n est au-dessus d’un idéal premier minimal de A_m, qui est nul puisque l’anneau local A_m est régulier, donc intègre. L’application canonique A_m → B_n/pB_n est donc injective et il résulte de VIII, , n° 3, th. 1 que l’on a dim(B_n/pB_n) = n. La prop. 2 du § 2, n° 2 entraîne que le A_m-module N_m est macaulayen. La proposition résulte alors des relations dim_{A_m}(N_m) = dim_{B_m}(N_m) (VIII, § 2, n° 3, th. 1) et dim_{B_m}(N_m) ≥ dim_{B_n}(N_n) = n

Si l’anneau B est de Macaulay, le A-module B est projectif d’après la prop. 5.

Supposons inversement le A-module B projectif. Le A-module A est macaulayen (cor. 2 de la prop. 4) ; le A-module B est facteur direct dans un A-module libre de type fini, donc est macaulayen (§ 2, n° 1, exemple 2). On applique alors le cor. 1 de la prop. 8 du § 2, n° 6.

b) Soient A un anneau présentable et J un idéal de A. Le séparé complété $\widehat{A}$ de A pour la topologie J-adique est présentable.

c) Tout anneau local noethérien complet est présentable.

d) Soit A un anneau local présentable. Il existe un anneau local régulier R et un homomorphisme local surjectif de R dans A.

Soit A un anneau présentable ; choisissons un anneau régulier R et un homomorphisme surjectif $\rho : R \to A$.

a) Soit S une partie multiplicative de A ; posons T = $\rho^{-1}(S)$. L’homomorphisme $T^{-1}R \to S^{-1}A$ déduit de $\rho$ est surjectif et l’anneau $T^{-1}R$ est régulier (n° 3, exemple 1), donc $S^{-1}A$ est présentable.

Soit B une A-algèbre de type fini ; il existe un ensemble fini I et un homomorphisme surjectif $A[(T_i)_{i \in I}] \to B$, donc un homomorphisme surjectif $R[(T_i)_{i \in I}] \to B$. Comme l’anneau $R[(T_i)_{i \in I}]$ est régulier (n° 2, cor. 5 de la prop. 4), l’anneau B est présentable.

b) Posons $I = \rho^{-1}(J)$ et notons $\hat{R}$ le séparé complété de R pour la topologie I-adique ; pour chaque entier $n \geq 0$, l’application canonique $I^n/I^{n+1} \to J^n/J^{n+1}$ est surjective. Par conséquent, l’homomorphisme $\hat{R} \to \hat{A}$ déduit de $\rho$ est surjectif (III, § 2, n° 8, cor. 2 du th. 1) ; comme $\hat{R}$ est régulier (n° 2, cor. 3 de la prop. 4), l’anneau $\hat{A}$ est présentable.

c) Cela résulte de IX, § 2, n° 5, th. 3 a) et IX, § 3, n° 3, th. 2 a).

d) Soit $m_A$ l’idéal maximal de A ; alors $p = \rho^{-1}(m_A)$ est un idéal premier de R, l’anneau local $R_p$ est régulier et l’homomorphisme $R_p \to A$ déduit de $\rho$ est local et surjectif.

Puisque les corps et les anneaux de Dedekind sont réguliers, donc présentables, la proposition 6 implique que la plupart des anneaux rencontrés usuellement en géométrie algébrique sont présentables.

a) L’anneau $A$ est noethérien et caténaire.

b) Soit M un A-module de type fini. L’application

de $\operatorname{Spec}(A)$ dans $\mathbf{Z}$ est semi-continue supérieurement.

c) Soit M un $A$-module de type fini. L’ensemble des $p \in \operatorname{Spec}(A)$ tels que le $A_p$-module $M_p$ soit macaulayen est un ouvert dense. Son intersection avec $\operatorname{Supp}(M)$ est dense dans $\operatorname{Supp}(M)$.

Choisissons un anneau régulier R et un homomorphisme surjectif $R \to A$.

a) L’anneau R est de Macaulay (n° 2, cor. 2 de la prop. 4), donc A est caténaire ($§ 2$, n° 2, prop. 2 et VIII, § 1, n° 3, rem. 2).

b) Le R-module M est de type fini et de dimension projective $< +\infty$ (n° 1, prop. 1). Identifions $\operatorname{Spec}(A)$ à une partie fermée de $\operatorname{Spec}(R)$. Alors la fonction $p \mapsto \dim_{A_p}(M_p) - \operatorname{prof}_{A_p}(M_p)$ sur $\operatorname{Spec}(A)$ est la restriction de la fonction $q \mapsto \dim_{R_q}(M_q) - \operatorname{prof}_{R_q}(M_q)$ sur $\operatorname{Spec}(R)$ ; il suffit alors d’appliquer le cor. 4 du th. 1 du $§ 3$, n° 5.

c) Cela se démontre comme la partie c) de loc. cit.

a) Pour tout A-module M de type fini, on a $dp_A(M) = dp_B(B \otimes_A M)$.

b) Si l’anneau B est régulier, l’anneau A est régulier.

Le B-module $B \otimes_A M$ est de type fini (I, , n° 6, prop. 12). Pour qu’il soit nul, il faut et il suffit que $M$ le soit (I, § 3, n° 1, déf. 1) ; pour qu’il soit projectif, il faut et il suffit que $M$ soit un $A$-module projectif (I, n° 6, prop. 12). Cela prouve a) lorsque $dp_A(M) \leqslant 0$. Supposons donc $dp_A(M) \geqslant 1$ (d’où $dp_B(B \otimes_A M) \geqslant 1$) et démontrons a) par récurrence sur $dp_A(M)$. Choisissons une suite exacte de $A$-modules

où le $A$-module $L$ est libre de type fini. On a $dp_A(N) = dp_A(M) - 1$ (A, X, p. 135, cor. 2 de la prop. 1). Comme $B$ est plat sur $A$, la suite

est exacte et on a $dp_B(B \otimes_A N) = dp_B(B \otimes_A M) - 1$. L’hypothèse de récurrence appliquée à $N$ permet de conclure. Cela prouve a) ; l’assertion b) résulte de a) et de la prop. 4 du n° 2.

(i) $A$ est régulier ; (ii) $B$ est un $A$-module projectif ; (iii) $B$ est un $A$-module plat ; (iv) $B$ est un $A$-module fidèlement plat.

(i) $\Rightarrow$ (ii) : cela résulte du cor. de la prop. 5 du n° 3. (ii) $\Rightarrow$ (iii) : cela résulte de I, § 3, n° 1, prop. 1. (iii) $\Rightarrow$ (iv) : pour tout idéal premier $\mathfrak{p}$ de $A$, on a $\mathfrak{p}B \neq B$ (V, § 2, n° 1, cor. 1 du théorème 1). Il suffit alors d’appliquer I, § 3, n° 1, prop. 1. (iv) $\Rightarrow$ (i) : cela résulte de la prop. 8, b).

Pour tout anneau local noethérien $A$, notons $\delta(A)$ l’entier

Rappelons (VIII, § 5, n° 1) que $\delta(A)$ est toujours positif et que son annulation caractérise les anneaux locaux réguliers.

Soit $\rho : A \to B$ un homomorphisme local d’anneaux locaux noethériens ; on déduit de $\rho$ un homomorphisme $\kappa_A$-linéaire $\mathfrak{m}_A / \mathfrak{m}_A^2 \to \mathfrak{m}_B / \mathfrak{m}_B^2$, d’où un homomorphisme $\kappa_B$-linéaire

Lemme 1.— On a

Notons $C$ l’anneau local $\kappa_A \otimes_A B$. Considérons la suite exacte de $B$-modules

par produit tensoriel avec $\kappa_B$, on obtient une suite exacte de $\kappa_{13}$-espaces vectoriels

d’où l’on déduit l’égalité

qui entraîne le lemme.

(i) l’anneau $B$ est régulier et l’application $\kappa_B$-linéaire

est injective ; (ii) les anneaux $B$ et $\kappa_A \otimes_A B$ sont réguliers et le $A$-module $B$ est plat ; (iii) les anneaux $A$ et $\kappa_A \otimes_A B$ sont réguliers et le $A$-module $B$ est plat ; (iv) les anneaux $A$ et $\kappa_A \otimes_A B$ sont réguliers, et l’on a

On a $\dim(B) \leq \dim(A) + \dim(\kappa_A \otimes_A B)$ (VIII, § 3, n° 4, cor. 1 de la prop. 7) ; l’équivalence de (i) et (iv) résulte donc du lemme 1. Sous l’hypothèse (ii), le $A$-module $B$ est fidèlement plat puisqu’on a $\mathfrak{m}_A B \subset \mathfrak{m}_B \neq B$ (I, § 3, n° 1, prop. 1), ce qui entraîne (iii) d’après la prop. 8. L’implication (iii) $\Rightarrow$ (iv) résulte de VIII, loc. cit.

Il nous suffit maintenant de prouver que lorsque les conditions équivalentes (i) et (iv) sont satisfaites, le $A$-module $B$ est plat. Soit $x$ un système de coordonnées de $A$. Puisque $d\rho$ est injective, l’image par $\rho$ de cette suite fait partie d’un système de coordonnées de $B$. Ainsi la suite $x$ est complètement sécante pour $A$ et pour $B$ (VIII, § 5, n° 3, prop. 2), et engendre l’idéal $\mathfrak{m}_A$ de $A$. D’après la remarque 3 de A, X, p. 159, le $A$-module $\mathrm{Tor}_1^A(\kappa_A, B)$ est isomorphe à $H_1(x, B)$, donc est nul ; il en résulte que $B$ est plat sur $A$ (III, § 5, n° 2, th. 1 et n° 4, prop. 2).

En effet pour tout idéal maximal $\mathfrak{n}$ de $B$ le $A_{\rho^{-1}(\mathfrak{n})}$-module $B_n$ est plat (II, § 3, n° 4, prop. 15), de sorte que l’anneau $B_n$ est régulier d’après la prop. 9.