(i) on a di_A(M) ≤ n (autrement dit, M possède une résolution injective de longueur ≤ n) ; (ii) pour tout A-module N et tout entier i > n, on a Ext_A^i(N, M) = 0 ; (iii) pour tout idéal a de A, on a Ext_A^{n+1}(A/a, M) = 0 ; (iv) pour toute suite exacte de A-modules

où les $I^i$ sont injectifs, le A-module Q est injectif.

(i) ⇒ (ii) : cela résulte de A, X, p. 100, th. 1. (ii) ⇒ (iii) : c’est clair. (iii) ⇒ (iv) : dans la situation de (iv), on a pour tout A-module N un isomorphisme de Ext_A^1(N, Q) sur Ext_A^{n+1}(N, M) (A, X, p. 128, cor. 4) ; sous l’hypothèse (iii), le A-module Ext_A^1(A/a, Q) est nul pour tout idéal a de A et Q est injectif (A, X, p. 93, prop. 11). (iv) ⇒ (i) : considérons la suite exacte (A, X, p. 52)

si la condition (iv) est satisfaite, le A-module $K^{n-1}(M)$ est injectif, d’où (i).

Rappelons (A, X, p. 138, déf. 2) que la dimension homologique de l’anneau $A$, notée $\mathrm{dh}(A)$, est la borne supérieure dans $\overline{\mathbf{Z}}$ de l’ensemble des entiers $n$ pour lesquels il existe deux $A$-modules $M$ et $N$ tels que $\mathrm{Ext}^n_A(M, N)$ soit non nul. C’est donc aussi la borne supérieure de l’ensemble des dimensions projectives (ou injectives) de tous les $A$-modules ; lorsque $A$ est noethérien, on peut se borner aux $A$-modules de type fini (A, X, p. 139, cor.).

Si l’anneau $A$ est noethérien et le $A$-module $M$ de type fini, on a un isomorphisme canonique de $S^{-1}A$-modules

Comme le $A$-module $S^{-1}A$ est plat, cela résulte de A, X, p. 110, prop. 9 et p. 111, prop. 10.

a) Le support de $\mathrm{Tor}_i^A(M, N)$ est contenu dans $\mathrm{Supp}(M) \cap \mathrm{Supp}(N)$, et il en est de même du support de $\mathrm{Ext}_A^i(M, N)$ si $A$ est noethérien et $M$ de type fini.

b) Supposons $A$ noethérien, les modules $M$ et $N$ de type fini ; si le $A$-module $M \otimes_A N$ est de longueur finie, il en est de même de $\mathrm{Tor}_i^A(M, N)$ et de $\mathrm{Ext}_A^i(M, N)$.

Si $p$ est un idéal premier de $A$ n’appartenant pas à $\mathrm{Supp}(M) \cap \mathrm{Supp}(N)$, l’un des modules $M_p$ ou $N_p$ est nul, ce qui implique a) compte tenu de la prop. 2.

Pour qu’un module de type fini sur un anneau noethérien soit de longueur finie, il faut et il suffit que son support soit formé d’idéaux maximaux (IV, § 2, n° 5, prop. 7). Sous l’hypothèse b), les $A$-modules $\mathrm{Tor}_i^A(M, N)$ et $\mathrm{Ext}_A^i(M, N)$ sont de type fini (A, X, p. 108, cor.) ; l’assertion b) résulte donc de a).

a) On a

où $p$ parcourt l’ensemble des idéaux premiers (resp. maximaux) de $A$.

b) L’application $p \mapsto \mathrm{dp}_{A_p}(M_p)$ de $\mathrm{Spec}(A)$ dans $\overline{\mathbf{Z}}$ est semi-continue supérieurement.

Prouvons a). Soit $n$ un entier $\geqslant 0$. Supposons qu’on ait $\mathrm{dp}_A(M) < n$. Pour tout idéal premier $p$ de $A$ et tout $A_p$-module $Q$, le $A_p$-module $\mathrm{Ext}_A^n(M_p, Q)$ est isomorphe à $(\mathrm{Ext}_A^n(M, Q))_p$ (prop. 2), donc est nul ; on en déduit l’inégalité dp_{A_p}(M_p) \leq dp_A(M) \ (\text{A, X, p. 134, prop. 1}). Supposons inversement qu’on ait dp_{A_m}(M_m) < n pour tout idéal maximal m de A, et soit R un A-module. On a (Ext^n_A(M, R))_m = 0 pour tout m (prop. 2), donc Ext^n_A(M, R) = 0 (II, , n° 3, cor. 2 du th. 1), ce qui entraîne dp_A(M) < n (A, X, p. 134, prop. 1). La première égalité de a) en résulte. La seconde se démontre de la même manière, en utilisant la caractérisation de la dimension injective donnée dans la prop. 1 (iii). Comme dh(A) est la borne supérieure de l’ensemble des dimensions injectives de A-modules (n° 1), la troisième égalité en résulte

Prouvons b). Soient p un idéal premier de A et n = dp_{A_p}(M_p). Démontrons qu’il existe un voisinage U de p dans Spec(A) tel que l’on ait dp_{A_q}(M_q) \leq n pour tout q \in U. C’est clair si n = +\infty ; si n = -\infty , cela résulte du fait que le support de M est fermé. Supposons maintenant n fini et choisissons une suite exacte de A-modules

où les P_i sont libres de type fini (A, X, p. 53, prop. 6). Posons P = Ker d_{n-1} ; c’est un module de présentation finie. Le A_p-module P_p est projectif (A, X, p. 134, prop. 1), donc libre (II, § 3, n° 2, cor. 2 de la prop. 5). D’après II, § 5, n° 1, cor. de la prop. 2, il existe un élément f de A - p tel que le A_f-module P_f soit libre ; le A_q-module P_q est alors libre pour tout élément q de l’ouvert U de Spec(A) formé des idéaux premiers ne contenant pas f . Cela prouve b).

En effet, le sous-espace X de Supp(M) formé des idéaux maximaux est quasi-compact (II, § 4, n° 2, prop. 8 et 9 et n° 3, cor. 7 de la prop. 11) ; l’application m \mapsto dp_{A_m}(M_m) de X dans \overline{\mathbf{R}} est semi-continue supérieurement (prop. 3), donc bornée (TG, IV, p. 30, cor. du th. 3).

(i) on a $\operatorname{dp}_A(M) < n$ ; (ii) on a $\operatorname{Tor}_n^A(M, \kappa_A) = 0$ ; (iii) on a $\operatorname{Ext}_A^n(M, \kappa_A) = 0$ ; (iv) toute résolution projective minimale de M est de longueur $< n$.

Les assertions (i) $\Rightarrow$ (ii) et (i) $\Rightarrow$ (iii) sont immédiates (A, X, p. 100, th. 1). Soit L une résolution projective minimale de M ; si (ii) ou (iii) est vérifié, on a $L_n = 0$ d’après (1). Comme toute résolution projective minimale de M est isomorphe à L (A, X, p. 54, prop. 8), on en déduit (iv). L’implication (iv) $\Rightarrow$ (i) est triviale.

(i) on a $\operatorname{dh}(A) < n$ ; (ii) on a $\operatorname{Ext}_A^i(M, N) = 0$ et $\operatorname{Tor}_i^A(M, N) = 0$ pour tout couple $(M, N)$ de A-modules et tout entier $i \geq n$ ; (iii) on a $\operatorname{Tor}_n^A(\kappa_A, \kappa_A) = 0$ ; (iv) on a $\operatorname{Ext}_A^n(\kappa_A, \kappa_A) = 0$ ; (v) on a $\operatorname{dp}_A(\kappa_A) < n$.

Il est clair que (i) implique (ii) et que (ii) implique (iii) et (iv). D’après la prop. 4 appliquée au A-module $\kappa_A$, chacune des conditions (iii) et (iv) implique (v). Prouvons que (v) implique (i) : si $\operatorname{dp}_A(\kappa_A) < n$, on a $\operatorname{Tor}_n^A(M, \kappa_A) = 0$ pour tout A-module M ; par suite tout A-module de type fini est de dimension projective $< n$ (prop. 4), ce qui entraîne $\operatorname{dh}(A) < n$ (A, X, p. 138, prop. 4).

(i) on a $\mathrm{dp}_A(M) < n$ ; (ii) pour tout idéal maximal $m$ de $A$, on a $\mathrm{Ext}_A^n(M, A/m) = 0$ (resp. on a $\mathrm{Tor}_n^A(M, A/m) = 0$) ; (iii) pour tout idéal maximal $m$ de $A$, on a $\mathrm{Ext}_{A_m}^n(M_m, A/m) = 0$ (resp. on a $\mathrm{Tor}_n^{A_m}(M_m, A/m) = 0$).

(i) $\Rightarrow$ (ii) : c’est clair. (ii) $\Rightarrow$ (iii) : cela résulte de la prop. 2 du n° 2. (iii) $\Rightarrow$ (i) : d’après la prop. 4, la condition (iii) implique l’inégalité $\mathrm{dp}_{A_m}(M_m) < n$ pour tout idéal maximal $m$ de $A$, et on conclut grâce à la prop. 3.

(i) on a $\operatorname{di}_A(N) < n$ ; (ii) pour tout idéal premier $p$ de $A$, on a $\operatorname{Ext}_A^n(A/p, N) = 0$ ; (iii) pour tout idéal premier $p$ de $A$, on a $\operatorname{Ext}_{A_p}^n(\kappa(p), N_p) = 0$.

Si de plus le $A$-module $N$ est de type fini, ces conditions équivalent à :

(iv) pour tout idéal maximal $m$ de $A$, on a $\operatorname{Ext}_A^i(A/m, N) = 0$ pour $n \leqslant i \leqslant n + \operatorname{ht}(m)$.

Observons que la condition (iii) équivaut à

(iii') pour tout idéal premier $p$ de $A$, on a $\operatorname{Ext}_A^n(A/p, N) \otimes_A \kappa(p) = 0$.

En effet, comme $\operatorname{Ext}_A^n(A/p, N)$ est annulé par $p$, le $A$-module $\operatorname{Ext}_A^n(A/p, N) \otimes_A \kappa(p)$ est isomorphe à $\operatorname{Ext}_A^n(A/p, N) \otimes_A A_p$, donc à $\operatorname{Ext}_{A_p}^n(\kappa(p), N_p)$ (n° 2, prop. 2).

Les implications (i) $\Rightarrow$ (ii) et (i) $\Rightarrow$ (iv) résultent de la prop. 1 du n° 1, et l’implication (ii) $\Rightarrow$ (iii') est claire.

(iii) $\Rightarrow$ (i) : pour tout $A$-module $M$, posons $T(M) = \operatorname{Ext}_A^n(M, N)$. Supposons que (i) ne soit pas vérifiée. Il existe alors (n° 1, prop. 1) un idéal $a$ de $A$ tel que $T(A/a) \neq 0$. Soit $p$ un idéal de $A$ maximal parmi les idéaux possédant cette propriété ; prouvons que $p$ est premier. D’après IV, § 1, n° 4, th. 1 et th. 2, il existe une suite de composition $(M_i)_{0 \leqslant i \leqslant m}$ de $A/p$ tel que chaque quotient $M_i/M_{i+1}$ soit isomorphe à un module $A/p_i$, où $p_i$ ($0 \leqslant i \leqslant m-1$) est un idéal premier contenant $p$. Si $T(A/p_i)$ était nul pour tout $i$, on déduirait par récurrence sur $i$ des suites exactes

que $T(M_0/M_m) = T(A/p)$ est nul, ce qui n’est pas. Il existe donc un indice $i$ tel que $T(A/p_i) \neq 0$. Vu le caractère maximal de $p$, on a $p = p_i$, de sorte que $p$ est premier.

Soit $x$ un élément de $A - p$ ; on déduit de la suite exacte

une suite exacte

où $u = \operatorname{Ext}_A^n(x_A, 1_N) = x_{T(A/p)}$ (A, X, p. 89, prop. 6). À cause du caractère maximal de $p$, on a $T(A/(p + xA)) = 0$, de sorte que l’homomorphisme $u$ est injectif. Le $A/p$-module non nul $T(A/p)$ est donc sans torsion. Cela implique que $T(A/p) \otimes_A \kappa(p)$ n’est pas nul (A, II, p. 117, cor. 1), ce qui contredit (iii').

Supposons le $A$-module $N$ de type fini, et prouvons que (iv) implique (iii). Soient $p$ un idéal premier de $A$ et $m$ un idéal maximal de $A$ contenant $p$. Il existe une chaîne saturée d’idéaux premiers de $A$ d’extrémités $\mathfrak{p}$ et $\mathfrak{m}$. La longueur $r$ de cette chaîne est inférieure à $\mathrm{ht}(\mathfrak{m})$; sous l’hypothèse (iv), on a donc

Il résulte alors du lemme 3 du § 1, n° 7 qu’on a $\mathrm{Ext}_{A_{\mathfrak{p}}}^{n}(\kappa(\mathfrak{p}), N_{\mathfrak{p}}) = 0$, ce qui prouve (iii).

déduits des suites exactes (4), (5) et (6) sont des isomorphismes.

Il suffit de traiter le cas $r = 1$. Posons alors $x = x_1$. Les $A$-modules $\mathrm{Ext}^n_{A/xA}(M/xM, \kappa_A)$ et $\mathrm{Ext}^n_A(M, \kappa_A)$ sont isomorphes pour tout entier $n$ (prop. 7) ; l’égalité $\mathrm{dp}_{A/xA}(M/xM) = \mathrm{dp}_A(M)$ résulte de la prop. 4 du n° 3. De même, les $A$-modules $\mathrm{Ext}^{n-1}_{A/xA}(\kappa_A, M/xM)$ et $\mathrm{Ext}^n_A(\kappa_A, M)$ sont isomorphes pour tout entier $n$, et l’égalité $\mathrm{di}_{A/xA}(M/xM) = \mathrm{di}_A(M) - 1$ résulte de la prop. 6 du n° 3.

Raisonnons par récurrence sur $\mathrm{dp}_A(M)$.

a) Si $\mathrm{dp}_A(M)$ est nul, $M$ est un $A$-module libre de type fini non nul ; sa profondeur est égale à $\mathrm{prof}(A)$ (§ 1, n° 1, remarque 4).

b) Supposons $\mathrm{dp}_A(M) = 1$ et choisissons une résolution projective minimale

de $M$ (n° 3, prop. 4, (iv)). Les $A$-modules $L_0$ et $L_1$ sont libres de type fini et non nuls, donc de profondeur $\mathrm{prof}(A)$ (§ 1, n° 1, remarque 4). L’application $1_{\kappa_A} \otimes d_1 : \kappa_A \otimes_A L_1 \to \kappa_A \otimes_A L_0$ est nulle, ce qui entraîne que $d_1$ appartient à $m_A \mathrm{Hom}_A(L_1, L_0)$. D’après la remarque 5 du § 1, n° 1, on a $\mathrm{prof}_A(M) = \mathrm{prof}(A) - 1$.

c) Supposons $\mathrm{dp}_A(M) > 1$. Choisissons une suite exacte

où $L$ est un $A$-module libre de type fini. On a alors $\mathrm{prof}_A(L) = \mathrm{prof}(A)$ (§ 1, n° 1, remarque 4), $\mathrm{dp}_A(N) = \mathrm{dp}_A(M) - 1$ (A, X, p. 135, cor. 2 c)), d’où $\mathrm{prof}_A(N) = \mathrm{prof}(A) - \mathrm{dp}_A(N)$ (hypothèse de récurrence), et en particulier $\mathrm{prof}_A(N) < \mathrm{prof}_A(L)$. D’après la prop. 1 du § 1, n° 1, on a alors $\mathrm{prof}_A(M) = \mathrm{prof}_A(N) - 1$, ce qui achève la démonstration.

a) On a $dp_A(M) \leq \operatorname{prof}(A)$. Pour qu’il y ait égalité, il faut et il suffit que l’idéal maximal $m_A$ soit associé à $M$.

b) On a $\operatorname{prof}_A(M) \leq \operatorname{prof}(A)$. Pour qu’il y ait égalité, il faut et il suffit que $M$ soit libre.

a) En effet, « $\operatorname{prof}_A(M) = 0$ » équivaut à « $m_A \in \operatorname{Ass}(A)$ » ($§ 1$, n° 1, remarque 2).

b) En effet, « $dp_A(M) = 0$ » équivaut à « $M$ est libre ».

COROLLAIRE 2.: Conservons les hypothèses du théorème 1 et supposons de plus que $A$ soit un anneau de Macaulay. Alors $dp_A(M)$ est la somme des deux entiers positifs $\dim(A) - \dim_A(M)$ et $\dim_A(M) - \operatorname{prof}(M)$.

En particulier, $dp_A(M)$ est alors supérieur à $\dim(A) - \dim_A(M)$, et il y a égalité si et seulement si $M$ est macaulayen.

En effet, soit $p \in F$. On a $\operatorname{Ext}_A^i(M_p, N_p) \neq 0$ (resp. $\operatorname{Tor}_i^A(M_p, N_p) \neq 0$) d’après la prop. 2 du n° 2, donc $i \leq dp_{A_p}(M_p) \leq dp_A(M) < +\infty$ (n° 2, prop. 3). Le th. 1 entraîne $\operatorname{prof}(A_p) \geq i$. Par suite ($§ 1$, n° 5, prop. 8)

Avec la terminologie du $§ 1$, n° 5, remarque 4, la conclusion du cor. 3 signifie que les modules $\operatorname{Ext}_A^i(M, N)$ et $\operatorname{Tor}_i^A(M, N)$ sont de grade $\geq i$. Elle entraîne que la codimension de leur support dans $\operatorname{Spec}(A)$ est $\geq i$ ($§ 1$, n° 7, prop. 12).

a) Soit $p \in \operatorname{Spec}(A)$; notons $\mathscr{C}(p)$ l’ensemble des composantes irréductibles de $\operatorname{Supp}(M)$ contenant $p$. On a

b) L’application $p \mapsto \dim_{A_p}(M_p) - \operatorname{prof}_{A_p}(M_p)$ de $\operatorname{Spec}(A)$ dans $\overline{\mathbf{Z}}$ est semi-continue supérieurement.

c) L’ensemble des idéaux premiers $p$ de $A$ tels que le $A_p$-module $M_p$ soit macaulayen est ouvert et dense dans $\operatorname{Spec}(A)$. Son intersection avec $\operatorname{Supp}(M)$ est dense dans $\operatorname{Supp}(M)$.

a) On peut supposer $p \in \operatorname{Supp}(M)$. Posons $\varphi(p) = \dim(A_p) - \dim_{A_p}(M_p)$. D’après le cor. 2 ci-dessus, on a

Puisque $A$ est un anneau de Macaulay, on a

pour toute $X \in \mathscr{C}(p)$ (\S 2, n° 2, prop. 2 b)) ; on a d'autre part (VIII, , n° 4, prop. 9 et n° 2, remarque 3)

et par suite

b) Soit $p \in \operatorname{Spec}(A)$, et soit $F$ la réunion des composantes irréductibles de $\operatorname{Supp}(M)$ qui ne contiennent pas $p$. Pour tout élément $q$ de $\operatorname{Spec}(A) - F$, on a $\mathscr{C}(q) \subset \mathscr{C}(p)$, d’où $\varphi(q) \geq \varphi(p)$ d’après la formule ci-dessus. Par conséquent la fonction $\varphi$ est semi-continue inférieurement ; l’assertion b) résulte alors de la prop. 3 du n° 2.

c) Soit $U$ l’ensemble des éléments $p$ de $\operatorname{Spec}(A)$ tels que $M_p$ soit macaulayen. La condition $p \in U$ équivaut à $\dim(M_p) - \operatorname{prof}(M_p) \leq 0$, de sorte que $U$ est ouvert d’après b). Comme $U$ contient $\operatorname{Spec}(A) - \operatorname{Supp}(M)$, il suffit de prouver que $U \cap \operatorname{Supp}(M)$ est dense dans $\operatorname{Supp}(M)$. Pour tout idéal premier minimal $p$ de $\operatorname{Supp}(M)$, le $A_p$-module $M_p$ est de longueur finie (IV, § 2, n° 5, cor. 2 de la prop. 7 et § 1, n° 3, cor. 1 de la prop. 7), donc macaulayen ; par conséquent $U$ rencontre toutes les composantes irréductibles de $\operatorname{Supp}(M)$. On conclut à l’aide de la prop. 1 de II, § 4, n° 1.