(i) $\Rightarrow$ (ii) : cela résulte de la proposition 1. (ii) $\Rightarrow$ (iii) : d’après la prop. 8 du § 1, n° 5, $\mathrm{prof}_F(M)$ est la borne inférieure des entiers $\mathrm{prof}(M_p)$ pour $p$ parcourant $\mathrm{Supp}(M) \cap F$. Si $M$ est macaulayen, on a pour un tel idéal $p$ les égalités $\mathrm{prof}(M_p) = \dim(M_p) = \mathrm{codim}(V(p), \mathrm{Supp}(M))$ (VIII, § 1, n° 4, prop. 9), d’où (iii). (iii) $\Rightarrow$ (iv) : il suffit de prendre $F = V(p)$. (iv) $\Rightarrow$ (i) : cela résulte des inégalités $\mathrm{prof}_A(p; M) \leq \mathrm{prof}(M_p) \leq \dim(M_p)$, valables pour tout $p \in \mathrm{Supp}(M)$ ($§ 1$, n° 5, remarque 3 et n° 4, cor. 2 du th. 2).

d) Soient $X_1$ et $X_2$ des composantes irréductibles de $\mathrm{Supp}(M)$ et $Y$ une partie fermée de $X_1 \cap X_2$. On a $\mathrm{codim}(Y, X_1) = \mathrm{codim}(Y, X_2)$.

a) Soit $\mathfrak{p} \in \mathrm{Ass}(M)$. On a $\mathrm{prof}_A(\mathfrak{p}; M) = 0$ ($\S$ 1, n° 1, remarque 2), donc $\dim(M_{\mathfrak{p}}) = 0$ (n° 1, cor. de la prop. 1), ce qui implique que $\mathfrak{p}$ est un élément minimal de $\mathrm{Supp}(M)$.

b) Supposons d’abord $Y$ irréductible. Soient $\mathfrak{p}$ et $\mathfrak{q}$ les idéaux premiers de $\mathrm{Supp}(M)$ tels qu’on ait $Y = V(\mathfrak{q})$ et $X = V(\mathfrak{p})$. Il résulte de la prop. 1 que l’on a

Le cas général résulte de VIII, $\S$ 1, n° 2, remarque 3.

c) Soient $X$, $Y$, $Z$ des parties fermées irréductibles de $\mathrm{Supp}(M)$ telles que $Z \subset Y \subset X$. La codimension de chacune de ces parties dans $\mathrm{Supp}(M)$ est finie (VIII, $\S$ 1, n° 4, prop. 9 et $\S$ 3, n° 1, cor. 1 de la prop. 2). On déduit alors de b) l’égalité

qui entraîne c) (VIII, $\S$ 1, n° 2, prop. 4).

d) D’après b), on a $\mathrm{codim}(Y, X_1) = \mathrm{codim}(Y, \mathrm{Supp}(M)) = \mathrm{codim}(Y, X_2)$.

En particulier, s’il existe un $A$-module $M$ de type fini, macaulayen, de support égal à $\mathrm{Spec}(A)$, l’anneau $A$ est caténaire et par conséquent tout anneau de fractions ou tout anneau quotient de $A$ est caténaire (VIII, $\S$ 1, n° 3, remarque 2).

a) Toutes les chaînes maximales de parties fermées irréductibles de $\mathrm{Supp}(M)$ sont de longueur égale à $\dim(M)$.

b) Pour toute partie fermée $X$ de $\mathrm{Supp}(M)$, on a

c) Toutes les composantes irréductibles de $\mathrm{Supp}(M)$ ont la même dimension.

d) Pour tout idéal $J$ de $A$, on a

a) Une chaîne maximale de parties fermées irréductibles de $\mathrm{Supp}(M)$ a pour plus petit élément $\{m_A\}$ et pour plus grand élément une composante irréductible $X$ de

Supp(M). Sa longueur est égale à la codimension de $\{ m_A \}$ dans X (prop. 2, c)) ; d’après la prop. 2, b) appliquée aux parties fermées $\{ m_A \} \subset X$, celle-ci est égale à $\operatorname{codim}(\{ m_A \}, \operatorname{Supp}(M))$, c’est-à-dire à $\dim(M)$.

b) C’est une conséquence de a) lorsque la partie X est irréductible (VIII, § 1, n° 2, prop. 5) ; le cas général résulte de VIII, § 1, n° 1, prop. 1 et § 1, n° 2, remarque 4.

c) C’est une conséquence de b).

d) On a $\operatorname{prof}_A(J; M) = \operatorname{codim}(\operatorname{Supp}(M) \cap V(J), \operatorname{Supp}(M))$ d’après le cor. de la prop. 1 du n° 1. Il suffit alors d’appliquer b) avec $X = \operatorname{Supp}(M) \cap V(J) = \operatorname{Supp}(M/JM)$ (II, § 4, n° 4, cor. de la prop. 18).

(i) le A-module M est macaulayen ; (ii) on a $\operatorname{prof}(M) = d$ ; (iii) on a $\operatorname{Ext}_A^i(\kappa_A, M) = 0$ pour tout entier $i < d$ ; (iv) on a $\operatorname{Ext}_A^i(N, M) = 0$ pour tout A-module N de longueur finie et tout entier $i < d$ ; (v) on a $\operatorname{Ext}_A^i(N, M) = 0$ pour tout A-module N de type fini et tout entier $i < d - \dim(M \otimes_A N)$ ; (vi) il existe une suite M-régulière d’éléments de $m_A$ de longueur d.

La condition (i) équivaut à l’égalité $\operatorname{prof}(M) = d$, c’est-à-dire à la condition (ii), ou encore à l’inégalité $\operatorname{prof}(M) \geq d$, c’est-à-dire à (iii) et à (vi) (§ 1, n° 4, th. 2). Les implications (v) $\Rightarrow$ (iv) et (iv) $\Rightarrow$ (iii) sont évidentes.

Enfin, supposons M macaulayen et soit N un A-module de type fini. Posons $F = \operatorname{Supp}(N)$ ; d’après II, § 4, n° 4, prop. 18, on a $\operatorname{Supp}(M) \cap F = \operatorname{Supp}(M \otimes_A N)$, de sorte que

(n° 1, cor. de la prop. 1 et n° 2, cor. de la prop. 2). L’implication (i) $\Rightarrow$ (v) résulte alors de la remarque 1 du § 1, n° 5.

Nous dirons dans la suite de ce numéro qu’un module M de type fini sur un anneau local noethérien A est pur si, pour tout idéal premier p associé à M, on a dim(A/p) = dim(M). Cela signifie aussi que M n’a pas d’idéaux premiers associés immergés et que les composantes irréductibles du support de M ont toutes la même dimension. Tout module macaulayen sur un anneau local noethérien est pur (n° 2, prop. 2 et son corollaire).

Lemme 1:— Soient A un anneau local noethérien, M un A-module de type fini et pur, et x un élément de mA. Les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) on a dim(M/xM) = dim(M) − 1 ; (ii) l’homothétie xM est injective.

On peut supposer M non nul. L’assertion (i) équivaut au fait que x n’appartienne à aucun des éléments minimaux p de Supp(M) tels que dim(A/p) = dim(M) (VIII, § 3, n° 2, prop. 3) et l’assertion (ii) équivaut au fait que x n’appartienne à aucun des idéaux premiers associés à M (IV, § 1, n° 1, cor. 2 de la prop. 2). Puisque M est pur, ses idéaux premiers associés sont les éléments minimaux de Supp(M), donc (i) et (ii) sont équivalentes.

Soient A un anneau local noethérien et M un A-module non nul de type fini. Rappelons (VIII, § 3, n° 2) qu’une suite (x₁, ..., x_r) d’éléments de mA est dite sécante pour M si l’on a dim(M/(x₁M + ... + x_rM)) = dim(M) − r.

(i) le A-module M est macaulayen ; (ii) la suite (x₁, ..., x_r) est M-régulière et le A-module M/(x₁M + ... + x_rM) est macaulayen.

Supposons que la suite (x₁, ..., x_r) soit M-régulière. On a alors

(§ 1, n° 4, prop. 7), d’où l’implication (ii) ⇒ (i).

Supposons le A-module M macaulayen et démontrons (ii) par récurrence sur r. L’assertion est évidente si r = 0. Si r ≥ 1, le A-module N = M/(x₁M + ... + x_{r−1}M) est macaulayen par l’hypothèse de récurrence et l’on a dim(N/x_rN) = dim(N) − 1 puisque la suite (x₁, ..., x_r) est sécante ; l’homothétie (x_r)_N est donc injective (lemme 1), et N/x_rN est macaulayen (n° 1, exemple 3), d’où (ii).

(i) le A-module M est macaulayen ;

(ii) la suite $x$ est M-régulière ; (iii) la suite $x$ est complètement sécante pour $M$ (A, X, p. 157, déf. 2) ; (iv) la multiplicité (VIII, § 7, n° 1, déf. 1) $e_J(M)$ de $M$ relativement à l’idéal $J$ est égale à la longueur du A-module $M/JM$ ; (v) pour chaque entier $i$ tel que $1 \leq i \leq d$, le A-module $M/(x_1M + \ldots + x_{i-1}M)$ est pur.

L’équivalence de (ii) et (iii) résulte de A, X, p. 160, cor. 1 du th. 1. Le A-module $M/JM$ étant de longueur finie (VIII, § 3, n° 2, th. 1), l’équivalence de (iii) et (iv) résulte de VIII, § 4, n° 3, prop. 4 et n° 4, th. 3. Il reste à prouver l’équivalence de (i), (ii) et (v).

(i) $\Rightarrow$ (v) : si $M$ est macaulayen, chacun des modules $M/(x_1M + \ldots + x_{i-1}M)$ est macaulayen (prop. 4), donc pur.

(v) $\Rightarrow$ (ii) : cela résulte du lemme 1 appliqué à chacun des modules $M/(x_1M + \ldots + x_{i-1}M)$.

(ii) $\Rightarrow$ (i) : cela résulte de la prop. 4, puisque $M/JM$ est de longueur finie, donc macaulayen.

Notons $\alpha$ l’annulateur de $M$. D’après le cor. de la prop. 18 de II, § 4, n° 4, le support du A-module $M/SM$ est $V(\mathscr{G} + \alpha)$. Sa codimension dans $\mathrm{Supp}(M)$ est donc égale à la codimension de $V(\mathscr{G} + \alpha)$ dans $V(\alpha)$, soit encore à la codimension de $V((\mathscr{G} + \alpha)/\alpha)$ dans $\mathrm{Spec}(A/\alpha)$, qui n’est autre que la hauteur de $\overline{\mathscr{G}}$.

Supposons $SM \neq M$ ; l’inégalité $\mathrm{ht}(\overline{\mathscr{G}}) \leq \mathrm{Card}(S)$ est évidente lorsque $S$ est infinie, et résulte de la prop. 4 b) de VIII, § 3, n° 3 lorsque $S$ est finie.

(i) la partie S de A est fortement sécante pour M ; (ii) pour tout élément $p$ de Supp(M/SM), l’application canonique $A \to A_p$ induit une bijection de S sur une partie de $pA_p$ sécante pour $M_p$.

(i) $\Rightarrow$ (ii) : Soit $p \in \operatorname{Supp}(M/SM)$ et soit $S'$ l’image de S dans $A_p$. L’ensemble $S'$ est contenu dans l’idéal maximal $pA_p$, et l’on a

(VIII, § 1, n° 4, prop. 9). L’inégalité Card(S) $\leq \operatorname{codim}(\operatorname{Supp}(M/SM), \operatorname{Supp}(M))$ et la prop. 3 b) de VIII, § 1, n° 2 entraînent les relations

Comme $M_p$ n’est pas nul, on a d’autre part $\dim(M_p) \leq \text{Card}(S') + \dim(M_p/S'M_p)$ (VIII, § 3, n° 2, formule (8)). La condition (ii) découle alors de l’inégalité $\text{Card}(S') \leq \text{Card}(S)$.

(ii) $\Rightarrow$ (i) : On peut supposer SM $\neq$ M. Si la condition (ii) est satisfaite, on a pour tout idéal premier $p$ de Supp(M/SM)

ce qui entraîne (i) par passage à la borne inférieure.

Soient x une suite M-régulière, et J l’idéal de A qu’elle engendre. Pour tout idéal premier $p \in \operatorname{Supp}(M/JM)$, l’image de x dans $A_p$ est une suite $M_p$-régulière d’éléments de $pA_p$, donc une suite sécante pour $M_p$ (VIII, § 3, n° 2, cor. de la prop. 3).

Pour tout idéal maximal $m \in \mathrm{Supp}(M/SM)$, l’image de S dans $A_m$ est sécante pour $M_m$ (prop. 5). Puisque $M_m$ est un $A_m$-module macaulayen, il en est de même de $(M/SM)_m$ (prop. 4), d’où la proposition.

Théorème 2 (Macaulay-Cohen).— Soient A un anneau noethérien et M un A-module de type fini. Les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) le A-module M est macaulayen ;

(ii) pour tout idéal J de A engendré par une suite M-régulière d’éléments de A, le A-module M/JM n’a pas d’idéaux premiers associés immergés ;

(iii) pour toute partie finie S de A fortement sécante pour M, le A-module M/SM n’a pas d’idéaux premiers associés immergés.

(i) $\Rightarrow$ (iii) : Soit S une partie finie de A fortement sécante pour M. Le A-module M/SM est macaulayen (prop. 6) et en particulier n’a pas d’idéaux premiers associés immergés (n° 2, prop. 2, a)).

(iii) $\Rightarrow$ (ii) : Cela résulte du cor. de la prop. 5.

(ii) $\Rightarrow$ (i) : Soit $p \in \mathrm{Supp}(M)$; démontrons que le $A_p$-module $M_p$ est macaulayen. Raisonnons par récurrence sur l’entier $\dim(M_p)$. Si $\dim(M_p)$ est nul, $M_p$ est un $A_p$-module de longueur finie, donc macaulayen (exemple 1, n° 1). Supposons que $\dim(M_p)$ soit non nul, c’est-à-dire que $p$ ne soit pas un élément minimal de $\mathrm{Supp}(M)$ (VIII, § 1, n° 4, prop. 9 a)). Comme M n’a pas d’idéaux premiers associés immergés, $p$ n’est contenu dans aucun idéal premier associé à M et il existe un élément $x$ de $p$ tel que l’homothétie $x_M$ soit injective ($§ 1$, remarque 2). L’homothétie $x_{M_p}$ est alors injective et l’on a $\dim(M_p/xM_p) < \dim(M_p)$ (VIII, § 3, n° 2, prop. 3). D’après l’hypothèse de récurrence appliquée au A-module $M/xM$ et à l’idéal premier $p$ de $\mathrm{Supp}(M/xM)$, le $A_p$-module $M_p/xM_p$ est macaulayen, ce qui entraîne que le $A_p$-module $M_p$ est macaulayen (n° 3, prop. 4).

(i) $A$ est un anneau de Macaulay ; (ii) pour toute partie fermée $F$ de $\mathrm{Spec}(A)$, on a $\mathrm{prof}_F(A) = \mathrm{codim}(F)$ ; (iii) tout idéal $J$ de $A$ contient une suite $A$-régulière de longueur $\mathrm{ht}(J)$ ; (iii') tout idéal maximal $m$ de $A$ contient une suite $A$-régulière de longueur $\mathrm{ht}(m)$ ; (iv) pour tout idéal $J$ de $A$, on a $\mathrm{Ext}_A^i(A/J, A) = 0$ pour $i < \mathrm{ht}(J)$ ; (iv') pour tout idéal maximal $m$ de $A$, on a $\mathrm{Ext}_A^i(A/m, A) = 0$ pour $i < \mathrm{ht}(m)$ ; (v) pour tout idéal premier $p$ de $A$ et tout idéal $J$ de $A_p$ engendré par une suite sécante maximale pour $A_p$, on a $e_J(A_p) = \mathrm{long}(A_p/ JA_p)$ ; (v') pour tout idéal maximal $m$ de $A$, il existe un idéal $J$ de $A_m$, engendré par une suite sécante maximale pour $A_m$, satisfaisant à $e_J(A_m) = \mathrm{long}(A_m/ JA_m)$ ; (vi) (critère de Macaulay-Cohen) pour toute partie finie $S$ de $A$ telle que l’idéal $\mathfrak{S}$ engendré par $S$ soit de hauteur $\mathrm{Card}(S)$, le $A$-module $A/\mathfrak{S}$ n’a pas d’idéaux premiers associés immergés.

L’équivalence de (i) et (ii) résulte du n° 1, cor. de la prop. 1. D’après le th. 2 du § 1, n° 4, et la définition de la profondeur, les conditions (iii) et (iv) (resp. (iii') et (iv')) signifient qu’on a $\mathrm{prof}_A(J; A) \geq \mathrm{ht}(J)$ pour tout idéal (resp. tout idéal maximal) $J$ de $A$. On a donc

Mais (iv') implique, pour tout idéal maximal $m$ de $A$, $\mathrm{Ext}_{A_m}^i(\kappa(m), A_m) = 0$ pour $i < \dim(A_m)$, d’où $\mathrm{prof}(A_m) \geq \dim(A_m)$, de sorte que $A$ est un anneau de Macaulay.

L’équivalence de (i), (v) et (v’) résulte du th. 1 du n° 3, et celle de (i) et (vi) du th. 2 du n° 4.

Le $A$-module $B/\mathrm{Ann}_B(N)$ est isomorphe à un sous-module du $A$-module de type fini $\mathrm{End}_A(N)$, donc est de type fini. Remplaçant $A$ par $A/\mathrm{Ann}_A(N)$ et $B$ par $B/\mathrm{Ann}_B(N)$, on se ramène au cas où $\rho$ est injectif et fait de $B$ une $A$-algèbre finie, et où l’on a $\mathrm{Supp}_A(N) = \mathrm{Spec}(A)$ et $\mathrm{Supp}_B(N) = \mathrm{Spec}(B)$. L’application $f : \mathrm{Spec}(B) \to \mathrm{Spec}(A)$ déduite de $\rho$ est alors surjective et un idéal premier $q$ de $B$ est maximal si et seulement si $f(q)$ est un idéal maximal de $A$ (V, § 2, n° 1, th. 1 et prop. 1).

Soit $m$ un idéal maximal de $A$. D’après la remarque ci-dessus, les idéaux premiers de l’anneau $B_m$ contenant $mB_m$ sont les idéaux de la forme $qB_m$ où $q \in \mathrm{Spec}(B)$ est un idéal de $B$ (nécessairement maximal) tel que $f(q) = m$. On a

(§ 1, n° 3, prop. 4 et n° 5, prop. 8), et

(VIII, § 2, n° 3, th. 1 et § 1, n° 4, prop. 9). Comme on a $\mathrm{prof}_{B_q}(N_q) \leq \dim_{B_q}(N_q)$ pour tout $q \in f^{-1}(m)$, la proposition résulte de ces égalités.

La première assertion résulte de la prop. 8. Supposons $\rho$ injectif. Soit $a$ un idéal de $A$. On a $\mathrm{ht}(a) = \mathrm{prof}_A(a; B)$ puisque le $A$-module $B$ est macaulayen, de support égal à $\mathrm{Spec}(A)$ (n° 1, cor. de la prop. 1), $\mathrm{ht}(aB) = \mathrm{prof}_B(aB; B)$ (loc. cit.) et $\mathrm{prof}_A(a; B) = \mathrm{prof}_B(aB; B)$ ($§ 1$, n° 3, prop. 4), d’où $\mathrm{ht}(aB) = \mathrm{ht}(a)$. Soit $b$ un idéal de $B$. D’après ce qui précède, on a $\mathrm{ht}(\rho^{-1}(b)) = \mathrm{ht}(\rho^{-1}(b)B)$. Mais $\rho^{-1}(b)B$ est contenu dans $b$, donc de hauteur inférieure à $\mathrm{ht}(b)$ et on a $\mathrm{ht}(b) \leq \mathrm{ht}(\rho^{-1}(b))$ d’après VIII, $§ 2$, n° 3, th. 1, b).

En effet, deux idéaux premiers de $B$ qui sont au-dessus du même idéal de $A$ ont la même hauteur (VIII, $§ 2$, n° 3, th. 2). On peut donc appliquer la prop. 8 avec $N = B$.