(i) $\Rightarrow$ (ii): điều này suy ra từ Mệnh đề 1. (ii) $\Rightarrow$ (iii): theo mệnh đề 8 của § 1, No. 5, $\mathrm{prof}_F(M)$ là cận dưới lớn nhất của các số nguyên $\mathrm{prof}(M_p)$ khi $p$ chạy qua $\mathrm{Supp}(M) \cap F$. Nếu $M$ là Macaulay, thì đối với một iđêan như thế $p$ ta có các đẳng thức $\mathrm{prof}(M_p) = \dim(M_p) = \mathrm{codim}(V(p), \mathrm{Supp}(M))$ (VIII, § 1, No. 4, mệnh đề 9), do đó có (iii). (iii) $\Rightarrow$ (iv): chỉ cần lấy $F = V(p)$. (iv) $\Rightarrow$ (i): điều này suy ra từ các bất đẳng thức $\mathrm{prof}_A(p; M) \leq \mathrm{prof}(M_p) \leq \dim(M_p)$, đúng với mọi $p \in \mathrm{Supp}(M)$ ($§ 1$, No. 5, nhận xét 3 và No. 4, hệ quả 2 của định lý 2).

d) Cho $X_1$ và $X_2$ là các thành phần bất khả quy của $\mathrm{Supp}(M)$ và $Y$ là một tập con đóng của $X_1 \cap X_2$. Khi đó $\mathrm{codim}(Y, X_1) = \mathrm{codim}(Y, X_2)$.

a) Cho $\mathfrak{p} \in \mathrm{Ass}(M)$. Khi đó $\mathrm{prof}_A(\mathfrak{p}; M) = 0$ (§ 1, No. 1, nhận xét 2), do đó $\dim(M_{\mathfrak{p}}) = 0$ (No. 1, hệ quả của mệnh đề 1), điều này kéo theo rằng $\mathfrak{p}$ là một phần tử cực tiểu của $\mathrm{Supp}(M)$.

b) Trước hết giả sử rằng $Y$ là bất khả quy. Cho $\mathfrak{p}$ và $\mathfrak{q}$ là các iđêan nguyên tố của $\mathrm{Supp}(M)$ sao cho ta có $Y = V(\mathfrak{q})$ và $X = V(\mathfrak{p})$. Từ mệnh đề 1 suy ra rằng ta có

Trường hợp tổng quát suy ra từ VIII, $\S$ 1, No. 2, nhận xét 3.

c) Cho $X$, $Y$, $Z$ là các tập con đóng bất khả quy của $\mathrm{Supp}(M)$ sao cho $Z \subset Y \subset X$. Đối chiều của mỗi tập con này trong $\mathrm{Supp}(M)$ là hữu hạn (VIII, $\S$ 1, No. 4, mệnh đề 9 và $\S$ 3, No. 1, hệ quả 1 của mệnh đề 2). Khi đó từ b) suy ra đẳng thức

điều này suy ra c) (VIII, $\S$ 1, No. 2, mệnh đề 4).

d) Theo b), ta có $\mathrm{codim}(Y, X_1) = \mathrm{codim}(Y, \mathrm{Supp}(M)) = \mathrm{codim}(Y, X_2)$.

Đặc biệt, nếu tồn tại một A-môđun Macaulay sinh hữu hạn $M$, có giá bằng $\mathrm{Spec}(A)$, thì vành $A$ là catenary và do đó mọi vành phân thức hoặc mọi vành thương của $A$ đều là catenary (VIII, $\S$ 1, No. 3, nhận xét 2).

a) Mọi chuỗi tối đại các tập con đóng bất khả quy của $\mathrm{Supp}(M)$ đều có độ dài bằng $\dim(M)$.

b) Với mọi tập con đóng $X$ của $\mathrm{Supp}(M)$, ta có

c) Mọi thành phần bất khả quy của $\mathrm{Supp}(M)$ đều có cùng chiều.

d) Với mọi iđêan $J$ của $A$, ta có

a) Một chuỗi tối đại các tập con đóng bất khả quy của $\mathrm{Supp}(M)$ có phần tử nhỏ nhất là $\{m_A\}$ và phần tử lớn nhất là một thành phần bất khả quy $X$ của

Supp(M). Độ dài của nó bằng đối chiều của $\{ m_A \}$ trong X (Mệnh đề 2, c)); theo Mệnh đề 2, b) áp dụng cho các tập con đóng $\{ m_A \} \subset X$, điều này bằng $\operatorname{codim}(\{ m_A \}, \operatorname{Supp}(M))$, tức là bằng $\dim(M)$.

b) Đây là một hệ quả của a) khi tập con X là bất khả quy (VIII, § 1, No. 2, mệnh đề 5); trường hợp tổng quát suy ra từ VIII, § 1, No. 1, mệnh đề 1 và § 1, No. 2, nhận xét 4.

c) Đây là một hệ quả của b).

d) Ta có $\operatorname{prof}_A(J; M) = \operatorname{codim}(\operatorname{Supp}(M) \cap V(J), \operatorname{Supp}(M))$ theo hệ quả của Mệnh đề 1 của No. 1. Khi đó chỉ cần áp dụng b) với $X = \operatorname{Supp}(M) \cap V(J) = \operatorname{Supp}(M/JM)$ (II, § 4, No. 4, hệ quả của Mệnh đề 18).

(i) A-môđun M là Macaulay; (ii) ta có $\operatorname{prof}(M) = d$; (iii) ta có $\operatorname{Ext}_A^i(\kappa_A, M) = 0$ với mọi số nguyên $i < d$; (iv) ta có $\operatorname{Ext}_A^i(N, M) = 0$ với mọi A-môđun N có độ dài hữu hạn và mọi số nguyên $i < d$; (v) ta có $\operatorname{Ext}_A^i(N, M) = 0$ với mọi A-môđun sinh hữu hạn N và mọi số nguyên $i < d - \dim(M \otimes_A N)$; (vi) tồn tại một dãy M-chính quy gồm các phần tử của $m_A$ có độ dài d.

Điều kiện (i) tương đương với đẳng thức $\operatorname{prof}(M) = d$, tức là với điều kiện (ii), hay cũng tương đương với bất đẳng thức $\operatorname{prof}(M) \geq d$, tức là với (iii) và với (vi) (§ 1, No. 4, Định lý 2). Các hệ kéo theo (v) $\Rightarrow$ (iv) và (iv) $\Rightarrow$ (iii) là hiển nhiên.

Sau hết, giả sử $M$ là Macaulay và $N$ là một A-môđun hữu hạn sinh. Đặt $F = \operatorname{Supp}(N)$; theo II, § 4, No. 4, Prop. 18, ta có $\operatorname{Supp}(M) \cap F = \operatorname{Supp}(M \otimes_A N)$, sao cho

(No. 1, hệ quả của Prop. 1 và No. 2, hệ quả của Prop. 2). Khi đó suy ra kéo theo (i) $\Rightarrow$ (v) từ Nhận xét 1 của § 1, No. 5.

Trong phần còn lại của số này, ta sẽ nói rằng một môđun hữu hạn sinh M trên một vành địa phương Noether A là thuần khiết nếu, với mọi iđêan nguyên tố p liên kết với M, ta có dim(A/p) = dim(M). Điều đó cũng có nghĩa là M không có iđêan nguyên tố liên kết nội nhúng nào và các thành phần bất khả quy của giá của M đều có cùng chiều. Mọi môđun Macaulay trên một vành địa phương Noether đều là thuần khiết (No. 2, Prop. 2 và hệ quả của nó).

Bổ đề 1:— Cho A là một vành địa phương Noether, M là một A-môđun hữu hạn sinh và thuần khiết, và x là một phần tử của mA. Các điều kiện sau là tương đương:

(i) ta có dim(M/xM) = dim(M) − 1 ; (ii) phép vị tự xM là đơn ánh.

Ta có thể giả sử M khác không. Mệnh đề (i) tương đương với việc x không thuộc một phần tử cực tiểu nào p của Supp(M) sao cho dim(A/p) = dim(M) (VIII, § 3, No. 2, Prop. 3), và mệnh đề (ii) tương đương với việc x không thuộc iđêan nguyên tố nào liên kết với M (IV, § 1, No. 1, Cor. 2 to Prop. 2). Vì M là thuần khiết, các iđêan nguyên tố liên kết với nó là các phần tử cực tiểu của Supp(M); do đó (i) và (ii) là tương đương.

Cho A là một vành địa phương Noether và M là một A-môđun hữu hạn sinh khác không. Nhắc lại (VIII, § 3, No. 2) rằng một dãy (x₁, ..., x_r) các phần tử của mA được gọi là cát tuyến đối với M nếu ta có dim(M/(x₁M + ... + x_rM)) = dim(M) − r.

(i) A-môđun M là Macaulay ; (ii) dãy (x₁, ..., x_r) là M-chính quy và A-môđun M/(x₁M + ... + x_rM) là Macaulay.

Giả sử rằng dãy (x₁, ..., x_r) là M-chính quy. Khi đó ta có

(§ 1, No. 4, Prop. 7), do đó có kéo theo (ii) ⇒ (i).

Giả sử A-môđun M là Macaulay, và chứng minh (ii) bằng quy nạp theo r. Mệnh đề là hiển nhiên nếu r = 0. Nếu r ≥ 1, A-môđun N = M/(x₁M + ... + x_{r−1}M) là Macaulay theo giả thiết quy nạp, và ta có dim(N/x_rN) = dim(N) − 1 vì dãy (x₁, ..., x_r) là cát tuyến; bởi vậy phép vị tự (x_r)_N là đơn ánh (Bổ đề 1), và N/x_rN là Macaulay (No. 1, Ví dụ 3), do đó suy ra (ii).

(i) A-môđun M là Macaulay ;

(ii) dãy $x$ là M-chính quy ; (iii) dãy $x$ là hoàn toàn cát tuyến đối với $M$ (A, X, p. 157, Def. 2) ; (iv) bội số (VIII, § 7, No. 1, Def. 1) $e_J(M)$ của $M$ đối với iđêan $J$ bằng độ dài của A-môđun $M/JM$ ; (v) với mỗi số nguyên $i$ sao cho $1 \leq i \leq d$, A-môđun $M/(x_1M + \ldots + x_{i-1}M)$ là thuần khiết.

Tính tương đương của (ii) và (iii) suy ra từ A, X, p. 160, Cor. 1 to Th. 1. Vì A-môđun $M/JM$ có độ dài hữu hạn (VIII, § 3, No. 2, Th. 1), tính tương đương của (iii) và (iv) suy ra từ VIII, § 4, No. 3, Prop. 4 và No. 4, Th. 3. Còn lại phải chứng minh tính tương đương của (i), (ii), và (v).

(i) $\Rightarrow$ (v) : nếu $M$ là Macaulay, mỗi môđun $M/(x_1M + \ldots + x_{i-1}M)$ đều là Macaulay (Prop. 4), nên thuần khiết.

(v) $\Rightarrow$ (ii) : điều này suy ra từ Bổ đề 1 áp dụng cho mỗi môđun $M/(x_1M + \ldots + x_{i-1}M)$.

(ii) $\Rightarrow$ (i) : điều này suy ra từ Prop. 4, vì $M/JM$ có độ dài hữu hạn, nên là Macaulay.

Ta ký hiệu bởi $\alpha$ linh hóa tử của $M$. Theo hệ quả của Prop. 18 của II, § 4, No. 4, giá của A-môđun $M/SM$ là $V(\mathscr{G} + \alpha)$. Do đó đối chiều của nó trong $\mathrm{Supp}(M)$ bằng đối chiều của $V(\mathscr{G} + \alpha)$ trong $V(\alpha)$, hay cũng bằng đối chiều của $V((\mathscr{G} + \alpha)/\alpha)$ trong $\mathrm{Spec}(A/\alpha)$, mà đó chính là chiều cao của $\overline{\mathscr{G}}$.

Giả sử $SM \neq M$; bất đẳng thức $\mathrm{ht}(\overline{\mathscr{G}}) \leq \mathrm{Card}(S)$ là hiển nhiên khi $S$ là vô hạn, và suy ra từ Prop. 4 b) của VIII, § 3, No. 3 khi $S$ là hữu hạn.

(i) tập con S của A là cắt mạnh đối với M; (ii) với mọi phần tử $p$ của Supp(M/SM), ánh xạ chính tắc $A \to A_p$ cảm sinh một song ánh của S lên một tập con của $pA_p$ cắt đối với $M_p$.

(i) $\Rightarrow$ (ii) : Cho $p \in \operatorname{Supp}(M/SM)$ và gọi $S'$ là ảnh của S trong $A_p$. Tập hợp $S'$ được chứa trong iđêan cực đại $pA_p$, và ta có

(VIII, § 1, No. 4, Mệnh đề 9). Bất đẳng thức Card(S) $\leq \operatorname{codim}(\operatorname{Supp}(M/SM), \operatorname{Supp}(M))$ và Mệnh đề 3 b) của VIII, § 1, No. 2 suy ra các hệ thức

Vì $M_p$ là khác không, mặt khác ta có $\dim(M_p) \leq \text{Card}(S') + \dim(M_p/S'M_p)$ (VIII, § 3, No. 2, công thức (8)). Khi đó điều kiện (ii) suy ra từ bất đẳng thức $\text{Card}(S') \leq \text{Card}(S)$.

(ii) $\Rightarrow$ (i) : Ta có thể giả sử SM $\neq$ M. Nếu điều kiện (ii) được thỏa mãn, thì với mọi iđêan nguyên tố $p$ của Supp(M/SM) ta có

điều này suy ra (i) bằng cách chuyển qua cận dưới lớn nhất.

Cho x là một dãy M-chính quy, và J là iđêan của A do nó sinh. Với mọi iđêan nguyên tố $p \in \operatorname{Supp}(M/JM)$, ảnh của x trong $A_p$ là một dãy $M_p$-chính quy gồm các phần tử của $pA_p$, vì thế là một dãy cắt đối với $M_p$ (VIII, § 3, No. 2, hệ quả của Mệnh đề 3).

Với mọi iđêan cực đại $m \in \mathrm{Supp}(M/SM)$, ảnh của S trong $A_m$ là cắt đối với $M_m$ (Mệnh đề 5). Vì $M_m$ là một $A_m$-môđun Macaulay, $(M/SM)_m$ cũng vậy (Mệnh đề 4), do đó có mệnh đề.

Định lý 2 (Macaulay-Cohen).— Cho A là một vành Noether và M là một A-môđun hữu hạn sinh. Các điều kiện sau là tương đương:

(i) A-môđun M là Macaulay;

(ii) với mọi iđêan J của A do một dãy M-chính quy gồm các phần tử của A sinh ra, A-môđun M/JM không có iđêan nguyên tố liên kết nhúng;

(iii) với mọi tập con hữu hạn S của A cắt mạnh đối với M, A-môđun M/SM không có iđêan nguyên tố liên kết nhúng.

(i) $\Rightarrow$ (iii) : Cho S là một tập con hữu hạn của A cắt mạnh đối với M. A-môđun M/SM là Macaulay (Mệnh đề 6) và đặc biệt không có iđêan nguyên tố liên kết nhúng (No. 2, Mệnh đề 2, a)).

(iii) $\Rightarrow$ (ii) : Điều này suy ra từ hệ quả của Mệnh đề 5.

(ii) $\Rightarrow$ (i): Cho $p \in \mathrm{Supp}(M)$; ta sẽ chứng minh rằng $A_p$-môđun $M_p$ là Macaulay. Ta lập luận bằng quy nạp theo số nguyên $\dim(M_p)$. Nếu $\dim(M_p)$ bằng không, thì $M_p$ là một $A_p$-môđun có độ dài hữu hạn, do đó là Macaulay (Ví dụ 1, No. 1). Giả sử $\dim(M_p)$ là khác không, nghĩa là $p$ không phải là một phần tử cực tiểu của $\mathrm{Supp}(M)$ (VIII, § 1, No. 4, Prop. 9 a)). Vì M không có iđêan nguyên tố liên kết nhúng, nên $p$ không được chứa trong bất kỳ iđêan nguyên tố liên kết nào của M, và tồn tại một phần tử $x$ của $p$ sao cho phép vị tự $x_M$ là đơn ánh (§ 1, Nhận xét 2). Khi đó phép vị tự $x_{M_p}$ là đơn ánh, và ta có $\dim(M_p/xM_p) < \dim(M_p)$ (VIII, § 3, No. 2, Prop. 3). Theo giả thiết quy nạp áp dụng cho A-môđun $M/xM$ và cho iđêan nguyên tố $p$ của $\mathrm{Supp}(M/xM)$, $A_p$-môđun $M_p/xM_p$ là Macaulay, điều này kéo theo rằng $A_p$-môđun $M_p$ là Macaulay (No. 3, Prop. 4).

(i) $A$ là một vành Macaulay; (ii) với mọi tập con đóng $F$ của $\mathrm{Spec}(A)$, ta có $\mathrm{prof}_F(A) = \mathrm{codim}(F)$; (iii) mọi iđêan $J$ của $A$ đều chứa một dãy $A$-chính quy có độ dài $\mathrm{ht}(J)$; (iii') mọi iđêan cực đại $m$ của $A$ đều chứa một dãy $A$-chính quy có độ dài $\mathrm{ht}(m)$; (iv) với mọi iđêan $J$ của $A$, ta có $\mathrm{Ext}_A^i(A/J, A) = 0$ với $i < \mathrm{ht}(J)$; (iv') với mọi iđêan cực đại $m$ của $A$, ta có $\mathrm{Ext}_A^i(A/m, A) = 0$ với $i < \mathrm{ht}(m)$; (v) với mọi iđêan nguyên tố $p$ của $A$ và mọi iđêan $J$ của $A_p$ sinh bởi một dãy cát tuyến cực đại đối với $A_p$, ta có $e_J(A_p) = \mathrm{long}(A_p/ JA_p)$; (v') với mọi iđêan cực đại $m$ của $A$, tồn tại một iđêan $J$ của $A_m$, sinh bởi một dãy cát tuyến cực đại đối với $A_m$, thỏa mãn $e_J(A_m) = \mathrm{long}(A_m/ JA_m)$; (vi) (tiêu chuẩn Macaulay-Cohen) với mọi tập con hữu hạn $S$ của $A$ sao cho iđêan $\mathfrak{S}$ sinh bởi $S$ có chiều cao $\mathrm{Card}(S)$, $A$-môđun $A/\mathfrak{S}$ không có iđêan nguyên tố liên kết nhúng.

Tính tương đương của (i) và (ii) suy ra từ No. 1, hệ quả của Mệnh đề 1. Theo Định lý 2 của § 1, No. 4, và định nghĩa của độ sâu, các điều kiện (iii) và (iv) (tương ứng (iii') và (iv')) có nghĩa là ta có $\mathrm{prof}_A(J; A) \geq \mathrm{ht}(J)$ với mọi iđêan (tương ứng mọi iđêan cực đại) $J$ của $A$. Do đó ta có

Nhưng (iv') kéo theo, với mọi iđêan cực đại $m$ của $A$, $\mathrm{Ext}_{A_m}^i(\kappa(m), A_m) = 0$ với $i < \dim(A_m)$, do đó $\mathrm{prof}(A_m) \geq \dim(A_m)$, suy ra $A$ là một vành Macaulay.

Tính tương đương của (i), (v) và (v’) suy ra từ Định lý 1 của No. 3, và tính tương đương của (i) và (vi) suy ra từ Định lý 2 của No. 4.

A-môđun $B/\mathrm{Ann}_B(N)$ đẳng cấu với một môđun con của A-môđun sinh hữu hạn $\mathrm{End}_A(N)$, và vì vậy có kiểu hữu hạn. Thay thế $A$ bằng $A/\mathrm{Ann}_A(N)$ và $B$ bằng $B/\mathrm{Ann}_B(N)$, ta được đưa về trường hợp $\rho$ là đơn ánh và làm cho $B$ thành một A-đại số hữu hạn, đồng thời ta có $\mathrm{Supp}_A(N) = \mathrm{Spec}(A)$ và $\mathrm{Supp}_B(N) = \mathrm{Spec}(B)$. Ánh xạ $f : \mathrm{Spec}(B) \to \mathrm{Spec}(A)$ suy ra từ $\rho$ khi đó là toàn ánh, và một iđêan nguyên tố $q$ của $B$ là cực đại khi và chỉ khi $f(q)$ là một iđêan cực đại của $A$ (V, § 2, No. 1, đl. 1 và mđ. 1).

Cho $m$ là một iđêan cực đại của $A$. Theo nhận xét trên, các iđêan nguyên tố của vành $B_m$ chứa $mB_m$ là các iđêan có dạng $qB_m$, trong đó $q \in \mathrm{Spec}(B)$ là một iđêan của $B$ (tất yếu cực đại) sao cho $f(q) = m$. Ta có

(§ 1, No. 3, mđ. 4 và No. 5, mđ. 8), và

(VIII, § 2, No. 3, đl. 1 và § 1, No. 4, mđ. 9). Vì ta có $\mathrm{prof}_{B_q}(N_q) \leq \dim_{B_q}(N_q)$ với mọi $q \in f^{-1}(m)$, mệnh đề được suy ra từ các đẳng thức này.

Mệnh đề đầu tiên suy ra từ Mệnh đề 8. Giả sử $\rho$ đơn ánh. Cho $a$ là một iđêan của $A$. Ta có $\mathrm{ht}(a) = \mathrm{prof}_A(a; B)$ vì $A$-môđun $B$ là Macaulay, có giá bằng $\mathrm{Spec}(A)$ (No. 1, hệ quả của Mệnh đề 1), $\mathrm{ht}(aB) = \mathrm{prof}_B(aB; B)$ (loc. cit.) và $\mathrm{prof}_A(a; B) = \mathrm{prof}_B(aB; B)$ ($§ 1$, No. 3, Mệnh đề 4), do đó $\mathrm{ht}(aB) = \mathrm{ht}(a)$. Cho $b$ là một iđêan của $B$. Từ điều ở trên, ta có $\mathrm{ht}(\rho^{-1}(b)) = \mathrm{ht}(\rho^{-1}(b)B)$. Nhưng $\rho^{-1}(b)B$ được chứa trong $b$, do đó có chiều cao nhỏ hơn $\mathrm{ht}(b)$, và ta có $\mathrm{ht}(b) \leq \mathrm{ht}(\rho^{-1}(b))$ theo VIII, $§ 2$, No. 3, Định lý 1, b).

Thật vậy, hai iđêan nguyên tố của $B$ nằm trên cùng một iđêan của $A$ có cùng chiều cao (VIII, $§ 2$, No. 3, Định lý 2). Do đó có thể áp dụng Mệnh đề 8 với $N = B$.

a) Dưới-$A$-*môđun* $Al_B$ của $B$ là một nhân tử trực tiếp.