(i) ta có di_A(M) ≤ n (nói cách khác, M có một phân giải nội xạ với độ dài ≤ n) ; (ii) với mọi A-môđun N và mọi số nguyên i > n, ta có Ext_A^i(N, M) = 0 ; (iii) với mọi iđêan a của A, ta có Ext_A^{n+1}(A/a, M) = 0 ; (iv) với mọi dãy khớp các A-môđun

trong đó các $I^i$ là nội xạ, A-môđun Q là nội xạ.

(i) ⇒ (ii) : điều này suy ra từ A, X, p. 100, Định lý 1. (ii) ⇒ (iii) : điều này hiển nhiên. (iii) ⇒ (iv) : trong tình huống của (iv), với mọi A-môđun N ta có một đẳng cấu từ Ext_A^1(N, Q) lên Ext_A^{n+1}(N, M) (A, X, p. 128, Hệ quả 4) ; dưới giả thiết (iii), A-môđun Ext_A^1(A/a, Q) bằng không với mọi iđêan a của A, và Q là nội xạ (A, X, p. 93, Mệnh đề 11). (iv) ⇒ (i) : xét dãy khớp (A, X, p. 52)

nếu điều kiện (iv) được thỏa mãn thì A-môđun $K^{n-1}(M)$ là nội xạ, do đó có (i).

Nhắc lại (A, X, p. 138, Định nghĩa 2) rằng chiều đồng điều của vành $A$, ký hiệu là $\mathrm{dh}(A)$, là cận trên nhỏ nhất trong $\overline{\mathbf{Z}}$ của tập các số nguyên $n$ sao cho tồn tại hai $A$-môđun $M$ và $N$ để cho $\mathrm{Ext}^n_A(M, N)$ khác không. Vì vậy nó cũng là cận trên nhỏ nhất của tập các chiều xạ ảnh (hoặc các chiều nội xạ) của mọi $A$-môđun; khi $A$ là Noether, chỉ cần giới hạn vào các $A$-môđun hữu hạn sinh (A, X, p. 139, Hệ quả).

Nếu vành $A$ là Noether và A-môđun $M$ hữu hạn sinh, ta có một đẳng cấu chính tắc của các $S^{-1}A$-môđun

Vì A-môđun $S^{-1}A$ là phẳng, điều này suy ra từ A, X, p. 110, Mệnh đề 9 và p. 111, Mệnh đề 10.

a) Giá của $\mathrm{Tor}_i^A(M, N)$ được chứa trong $\mathrm{Supp}(M) \cap \mathrm{Supp}(N)$, và điều tương tự cũng đúng cho giá của $\mathrm{Ext}_A^i(M, N)$ nếu $A$ là Noether và $M$ hữu hạn sinh.

b) Giả sử rằng $A$ là Noether, và các môđun $M$ và $N$ là hữu hạn sinh; nếu $A$-môđun $M \otimes_A N$ có độ dài hữu hạn, thì điều tương tự cũng đúng với $\mathrm{Tor}_i^A(M, N)$ và với $\mathrm{Ext}_A^i(M, N)$.

Nếu $p$ là một iđêan nguyên tố của $A$ không thuộc $\mathrm{Supp}(M) \cap \mathrm{Supp}(N)$, thì một trong hai môđun $M_p$ hoặc $N_p$ bằng không, điều này kéo theo a) theo Mệnh đề 2.

Để một môđun hữu hạn sinh trên một vành Noether có độ dài hữu hạn, điều kiện cần và đủ là giá của nó gồm các iđêan cực đại (IV, § 2, No. 5, Mệnh đề 7). Dưới giả thiết b), các A-môđun $\mathrm{Tor}_i^A(M, N)$ và $\mathrm{Ext}_A^i(M, N)$ là hữu hạn sinh (A, X, p. 108, Hệ quả) ; do đó mệnh đề b) suy ra từ a).

a) Ta có

trong đó $p$ chạy trên tập hợp các iđêan nguyên tố (tương ứng là các iđêan cực đại) của $A$.

b) Ánh xạ $p \mapsto \mathrm{dp}_{A_p}(M_p)$ từ $\mathrm{Spec}(A)$ vào $\overline{\mathbf{Z}}$ là nửa liên tục trên.

Ta hãy chứng minh a). Cho $n$ là một số nguyên $\geqslant 0$. Giả sử rằng ta có $\mathrm{dp}_A(M) < n$. Với mọi iđêan nguyên tố $p$ của $A$ và mọi $A_p$-môđun $Q$, $A_p$-môđun $\mathrm{Ext}_A^n(M_p, Q)$ đẳng cấu với $(\mathrm{Ext}_A^n(M, Q))_p$ (Mệnh đề 2), do đó bằng không; suy ra bất đẳng thức

Ta hãy chứng minh b). Cho p là một iđêan nguyên tố của A và n = dp_{A_p}(M_p). Hãy chỉ ra rằng tồn tại một lân cận U của p trong Spec(A) sao cho ta có dp_{A_q}(M_q) \leq n với mọi q \in U. Điều này là hiển nhiên nếu n = +\infty ; nếu n = -\infty , điều này suy ra từ việc giá của M là đóng. Bây giờ giả sử rằng n là hữu hạn và chọn một dãy khớp các A-môđun

trong đó các P_i là tự do kiểu hữu hạn (A, X, p. 53, Mệnh đề 6). Đặt P = Ker d_{n-1} ; đây là một môđun trình bày hữu hạn. A_p-môđun P_p là xạ ảnh (A, X, p. 134, Mệnh đề 1), do đó tự do (II, § 3, No. 2, Hệ quả 2 của Mệnh đề 5). Theo II, § 5, No. 1, Hệ quả của Mệnh đề 2, tồn tại một phần tử f của A - p sao cho A_f-môđun P_f là tự do; khi đó A_q-môđun P_q là tự do với mọi phần tử q của tập mở U của Spec(A) tạo bởi các iđêan nguyên tố không chứa f . Điều này chứng minh b).

Thật vậy, không gian con X của Supp(M) tạo bởi các iđêan cực đại là quasi-compact (II, § 4, No. 2, Mệnh đề 8 và 9 và No. 3, Hệ quả 7 của Mệnh đề 11) ; ánh xạ m \mapsto dp_{A_m}(M_m) từ X vào \overline{\mathbf{R}} là nửa liên tục trên (Mệnh đề 3), do đó bị chặn (TG, IV, p. 30, Hệ quả của Định lý 3).

(i) ta có $\operatorname{dp}_A(M) < n$ ; (ii) ta có $\operatorname{Tor}_n^A(M, \kappa_A) = 0$ ; (iii) ta có $\operatorname{Ext}_A^n(M, \kappa_A) = 0$ ; (iv) mọi giải xạ ảnh tối thiểu của M đều có độ dài $< n$.

Các khẳng định (i) $\Rightarrow$ (ii) và (i) $\Rightarrow$ (iii) là ngay lập tức (A, X, p. 100, Định lý 1). Cho L là một giải xạ ảnh tối thiểu của M ; nếu (ii) hoặc (iii) được thỏa mãn, ta có $L_n = 0$ theo (1). Vì mọi giải xạ ảnh tối thiểu của M đều đẳng cấu với L (A, X, p. 54, Mệnh đề 8), suy ra (iv). Hệ quả (iv) $\Rightarrow$ (i) là tầm thường.

(i) ta có $\operatorname{dh}(A) < n$ ; (ii) ta có $\operatorname{Ext}_A^i(M, N) = 0$ và $\operatorname{Tor}_i^A(M, N) = 0$ với mọi cặp $(M, N)$ các A-môđun và mọi số nguyên $i \geq n$ ; (iii) ta có $\operatorname{Tor}_n^A(\kappa_A, \kappa_A) = 0$ ; (iv) ta có $\operatorname{Ext}_A^n(\kappa_A, \kappa_A) = 0$ ; (v) ta có $\operatorname{dp}_A(\kappa_A) < n$.

Hiển nhiên là (i) kéo theo (ii), và (ii) kéo theo (iii) và (iv). Theo Mệnh đề 4 áp dụng cho A-môđun $\kappa_A$, mỗi điều kiện (iii) và (iv) đều kéo theo (v). Ta hãy chứng minh rằng (v) kéo theo (i) : nếu $\operatorname{dp}_A(\kappa_A) < n$, ta có $\operatorname{Tor}_n^A(M, \kappa_A) = 0$ với mọi A-môđun M ; do đó mọi A-môđun hữu hạn sinh đều có chiều xạ ảnh $< n$ (Mệnh đề 4), điều này kéo theo $\operatorname{dh}(A) < n$ (A, X, p. 138, Mệnh đề 4).

(i) ta có $\mathrm{dp}_A(M) < n$ ; (ii) với mọi iđêan cực đại $m$ của $A$, ta có $\mathrm{Ext}_A^n(M, A/m) = 0$ (resp. ta có $\mathrm{Tor}_n^A(M, A/m) = 0$) ; (iii) với mọi iđêan cực đại $m$ của $A$, ta có $\mathrm{Ext}_{A_m}^n(M_m, A/m) = 0$ (resp. ta có $\mathrm{Tor}_n^{A_m}(M_m, A/m) = 0$).

(i) $\Rightarrow$ (ii) : điều này là hiển nhiên. (ii) $\Rightarrow$ (iii) : điều này suy ra từ Mệnh đề 2 của No. 2. (iii) $\Rightarrow$ (i) : theo Mệnh đề 4, điều kiện (iii) kéo theo bất đẳng thức $\mathrm{dp}_{A_m}(M_m) < n$ với mọi iđêan cực đại $m$ của $A$, và kết luận theo Mệnh đề 3.

(i) ta có $\operatorname{di}_A(N) < n$ ; (ii) với mọi iđêan nguyên tố $p$ của $A$, ta có $\operatorname{Ext}_A^n(A/p, N) = 0$ ; (iii) với mọi iđêan nguyên tố $p$ của $A$, ta có $\operatorname{Ext}_{A_p}^n(\kappa(p), N_p) = 0$.

Hơn nữa, nếu $A$-môđun $N$ là hữu hạn kiểu, thì các điều kiện này tương đương với:

(iv) với mọi iđêan cực đại $m$ của $A$, ta có $\operatorname{Ext}_A^i(A/m, N) = 0$ với $n \leqslant i \leqslant n + \operatorname{ht}(m)$.

Chú ý rằng điều kiện (iii) tương đương với

(iii') với mọi iđêan nguyên tố $p$ của $A$, ta có $\operatorname{Ext}_A^n(A/p, N) \otimes_A \kappa(p) = 0$.

Thật vậy, vì $\operatorname{Ext}_A^n(A/p, N)$ bị triệt tiêu bởi $p$, nên $A$-môđun $\operatorname{Ext}_A^n(A/p, N) \otimes_A \kappa(p)$ đẳng cấu với $\operatorname{Ext}_A^n(A/p, N) \otimes_A A_p$, do đó đẳng cấu với $\operatorname{Ext}_{A_p}^n(\kappa(p), N_p)$ (No. 2, Mệnh đề 2).

Các suy ra (i) $\Rightarrow$ (ii) và (i) $\Rightarrow$ (iv) là hệ quả của Mệnh đề 1 của No. 1, và suy ra (ii) $\Rightarrow$ (iii') là hiển nhiên.

(iii) $\Rightarrow$ (i): với mọi $A$-môđun $M$, đặt $T(M) = \operatorname{Ext}_A^n(M, N)$. Giả sử rằng (i) không được thỏa mãn. Khi đó tồn tại (No. 1, Mệnh đề 1) một iđêan $a$ của $A$ sao cho $T(A/a) \neq 0$. Gọi $p$ là một iđêan của $A$ cực đại trong số các iđêan có tính chất này; hãy chứng minh rằng $p$ là nguyên tố. Theo IV, § 1, No. 4, Định lý 1 và Định lý 2, tồn tại một dãy hợp thành $(M_i)_{0 \leqslant i \leqslant m}$ của $A/p$ sao cho mỗi thương $M_i/M_{i+1}$ đẳng cấu với một môđun $A/p_i$, trong đó $p_i$ ($0 \leqslant i \leqslant m-1$) là một iđêan nguyên tố chứa $p$. Nếu $T(A/p_i)$ bằng không với mọi $i$, thì người ta sẽ suy ra bằng quy nạp theo $i$ từ các dãy khớp

rằng $T(M_0/M_m) = T(A/p)$ bằng không, điều này không đúng. Vậy nên tồn tại một chỉ số $i$ sao cho $T(A/p_i) \neq 0$. Do tính cực đại của $p$, ta có $p = p_i$, nên $p$ là nguyên tố.

Gọi $x$ là một phần tử của $A - p$; từ dãy khớp

suy ra một dãy khớp

trong đó $u = \operatorname{Ext}_A^n(x_A, 1_N) = x_{T(A/p)}$ (A, X, p. 89, Mệnh đề 6). Do tính cực đại của $p$, ta có $T(A/(p + xA)) = 0$, vì thế đồng cấu $u$ là đơn ánh. Vậy $A/p$-môđun khác không $T(A/p)$ là không xoắn. Điều này kéo theo $T(A/p) \otimes_A \kappa(p)$ khác không (A, II, p. 117, Hệ quả 1), điều mâu thuẫn với (iii').

Giả sử $A$-môđun $N$ là kiểu hữu hạn, và hãy chứng minh rằng (iv) kéo theo (iii). Gọi $p$ là một iđêan nguyên tố của $A$ và $m$ là một iđêan cực đại của $A$ chứa $p$. Tồn tại một chuỗi bão hòa các iđêan nguyên tố của $A$ với hai đầu mút là $\mathfrak{p}$ và $\mathfrak{m}$. Độ dài $r$ của chuỗi này nhỏ hơn $\mathrm{ht}(\mathfrak{m})$; dưới giả thiết (iv), do đó ta có

Khi đó suy ra từ Bổ đề 3 của § 1, No. 7 rằng ta có $\mathrm{Ext}_{A_{\mathfrak{p}}}^{n}(\kappa(\mathfrak{p}), N_{\mathfrak{p}}) = 0$, điều này chứng minh (iii).

suy ra từ các dãy khớp (4), (5) và (6) là các đẳng cấu.

Chỉ cần xét trường hợp $r = 1$. Đặt $x = x_1$. Các $A$-môđun $\mathrm{Ext}^n_{A/xA}(M/xM, \kappa_A)$ và $\mathrm{Ext}^n_A(M, \kappa_A)$ đẳng cấu với nhau với mọi số nguyên $n$ (mệnh đề 7); đẳng thức $\mathrm{dp}_{A/xA}(M/xM) = \mathrm{dp}_A(M)$ suy ra từ mệnh đề 4 của No. 3. Tương tự, các $A$-môđun $\mathrm{Ext}^{n-1}_{A/xA}(\kappa_A, M/xM)$ và $\mathrm{Ext}^n_A(\kappa_A, M)$ đẳng cấu với nhau với mọi số nguyên $n$, và đẳng thức $\mathrm{di}_{A/xA}(M/xM) = \mathrm{di}_A(M) - 1$ suy ra từ mệnh đề 6 của No. 3.

Lập luận bằng quy nạp theo $\mathrm{dp}_A(M)$.

a) Nếu $\mathrm{dp}_A(M)$ bằng không, thì $M$ là một $A$-môđun tự do sinh hữu hạn khác không; độ sâu của nó bằng $\mathrm{prof}(A)$ (§ 1, No. 1, nhận xét 4).

b) Giả sử $\mathrm{dp}_A(M) = 1$ và chọn một phân giải xạ ảnh cực tiểu

của $M$ (No. 3, mệnh đề 4, (iv)). Các $A$-môđun $L_0$ và $L_1$ là các môđun tự do sinh hữu hạn khác không, nên có độ sâu bằng $\mathrm{prof}(A)$ (§ 1, No. 1, nhận xét 4). Ánh xạ $1_{\kappa_A} \otimes d_1 : \kappa_A \otimes_A L_1 \to \kappa_A \otimes_A L_0$ bằng không, điều này kéo theo $d_1$ thuộc $m_A \mathrm{Hom}_A(L_1, L_0)$. Theo nhận xét 5 của § 1, No. 1, ta có $\mathrm{prof}_A(M) = \mathrm{prof}(A) - 1$.

c) Giả sử $\mathrm{dp}_A(M) > 1$. Chọn một dãy khớp

trong đó $L$ là một $A$-môđun tự do sinh hữu hạn. Khi đó ta có $\mathrm{prof}_A(L) = \mathrm{prof}(A)$ (§ 1, No. 1, nhận xét 4), $\mathrm{dp}_A(N) = \mathrm{dp}_A(M) - 1$ (A, X, p. 135, hệ quả 2 c)), do đó $\mathrm{prof}_A(N) = \mathrm{prof}(A) - \mathrm{dp}_A(N)$ (giả thiết quy nạp), và đặc biệt $\mathrm{prof}_A(N) < \mathrm{prof}_A(L)$. Theo mệnh đề 1 của § 1, No. 1, khi đó ta có $\mathrm{prof}_A(M) = \mathrm{prof}_A(N) - 1$, điều này hoàn tất chứng minh.

a) Ta có $dp_A(M) \leq \operatorname{prof}(A)$. Để có đẳng thức, điều kiện cần và đủ là iđêan cực đại $m_A$ liên kết với $M$.

b) Ta có $\operatorname{prof}_A(M) \leq \operatorname{prof}(A)$. Để có đẳng thức, điều kiện cần và đủ là $M$ tự do.

a) Thực vậy, “ $\operatorname{prof}_A(M) = 0$ ” tương đương với “ $m_A \in \operatorname{Ass}(A)$ ” ($§ 1$, No. 1, nhận xét 2).

b) Thực vậy, “ $dp_A(M) = 0$ ” tương đương với “ $M$ tự do ”.

HỆ QUẢ 2.: Giữ các giả thiết của định lý 1 và giả sử thêm rằng $A$ là một vành Macaulay. Khi đó $dp_A(M)$ là tổng của hai số nguyên dương $\dim(A) - \dim_A(M)$ và $\dim_A(M) - \operatorname{prof}(M)$.

Đặc biệt, khi đó $dp_A(M)$ lớn hơn $\dim(A) - \dim_A(M)$, và có đẳng thức khi và chỉ khi $M$ là Cohen-Macaulay.

Thật vậy, cho $p \in F$. Ta có $\operatorname{Ext}_A^i(M_p, N_p) \neq 0$ (resp. $\operatorname{Tor}_i^A(M_p, N_p) \neq 0$) theo mệnh đề 2 của No. 2, do đó $i \leq dp_{A_p}(M_p) \leq dp_A(M) < +\infty$ (No. 2, mệnh đề 3). Định lý 1 suy ra $\operatorname{prof}(A_p) \geq i$. Do đó ($§ 1$, No. 5, mệnh đề 8)

Với thuật ngữ của $§ 1$, No. 5, nhận xét 4, kết luận của hệ quả 3 có nghĩa là các môđun $\operatorname{Ext}_A^i(M, N)$ và $\operatorname{Tor}_i^A(M, N)$ có grade $\geq i$. Điều đó suy ra rằng đối chiều của giá của chúng trong $\operatorname{Spec}(A)$ là $\geq i$ ($§ 1$, No. 7, mệnh đề 12).

a) Cho $p \in \operatorname{Spec}(A)$; ký hiệu bởi $\mathscr{C}(p)$ tập hợp các thành phần bất khả quy của $\operatorname{Supp}(M)$ chứa $p$. Ta có

b) Ánh xạ $p \mapsto \dim_{A_p}(M_p) - \operatorname{prof}_{A_p}(M_p)$ từ $\operatorname{Spec}(A)$ vào $\overline{\mathbf{Z}}$ là nửa liên tục trên.

c) Tập hợp các iđêan nguyên tố $p$ của $A$ sao cho $A_p$-môđun $M_p$ là Macaulay là mở và trù mật trong $\operatorname{Spec}(A)$. Giao của nó với $\operatorname{Supp}(M)$ là trù mật trong $\operatorname{Supp}(M)$.

a) Ta có thể giả sử rằng $p \in \operatorname{Supp}(M)$. Đặt $\varphi(p) = \dim(A_p) - \dim_{A_p}(M_p)$. Theo hệ quả 2 ở trên, ta có

Vì $A$ là một vành Macaulay, ta có

và do đó

b) Cho $p \in \operatorname{Spec}(A)$, và cho $F$ là hợp của các thành phần bất khả quy của $\operatorname{Supp}(M)$ không chứa $p$. Với mọi phần tử $q$ của $\operatorname{Spec}(A) - F$, ta có $\mathscr{C}(q) \subset \mathscr{C}(p)$, do đó $\varphi(q) \geq \varphi(p)$ theo công thức trên. Do đó hàm $\varphi$ là nửa liên tục dưới; mệnh đề b) khi đó suy ra từ mệnh đề 3 của No. 2.

c) Cho $U$ là tập hợp các phần tử $p$ của $\operatorname{Spec}(A)$ sao cho $M_p$ là Cohen-Macaulay. Điều kiện $p \in U$ tương đương với $\dim(M_p) - \operatorname{prof}(M_p) \leq 0$, do đó $U$ là mở theo b). Vì $U$ chứa $\operatorname{Spec}(A) - \operatorname{Supp}(M)$, chỉ cần chứng minh rằng $U \cap \operatorname{Supp}(M)$ là trù mật trong $\operatorname{Supp}(M)$. Với mọi iđêan nguyên tố cực tiểu $p$ của $\operatorname{Supp}(M)$, $A_p$-môđun $M_p$ có độ dài hữu hạn (IV, § 2, No. 5, Hệ quả 2 của Mệnh đề 7 và § 1, No. 3, Hệ quả 1 của Mệnh đề 7), nên là Cohen-Macaulay; do đó $U$ giao với mọi thành phần bất khả quy của $\operatorname{Supp}(M)$. Kết luận theo Mệnh đề 1 của II, § 4, No. 1.