Cho $x = (x_1, \ldots, x_n)$ là một hệ tọa độ của $A$ (VIII, § 5, No. 1, def. 1). Dãy $x$ sinh ra $m_A$ và là hoàn toàn cát tuyến đối với $A$ (loc. cit., No. 2, th. 1). Phức Koszul $K_\bullet(x, A)$ là một phân giải tự do của $\kappa_A$ (A, X, p. 159, nhận xét 3), có vi phân bằng không modulo $m_A$. Do đó, với mọi số nguyên $i \geqslant 0$, ta có (§ 3, No. 3, công thức (1))

Từ đó suy ra theo hệ quả 1 của mệnh đề 4 của No. 3, § 3 rằng $\mathrm{dh}(A) = n$.

Theo mệnh đề 1, mọi môđun sinh hữu hạn trên một vành địa phương Noether chính quy đều thừa nhận một phân giải xạ ảnh có độ dài hữu hạn bởi các môđun xạ ảnh sinh hữu hạn, do đó bởi các môđun tự do (II, § 3, No. 2, hệ quả 2 của mệnh đề 5). Từ đó suy ra theo VII, § 4, No. 7, hệ quả 3 của mệnh đề 16 rằng vành như vậy là nhân tử.

Thật vậy, $M$ có chiều xạ ảnh hữu hạn (mệnh đề 1), và ta có $\mathrm{prof}(A) = \dim(A)$ vì $A$ là một vành Macaulay (§ 2, No. 5, ví dụ 7). Khi đó áp dụng định lý 1 của § 3, No. 5.

Thật vậy, một vành địa phương Noether chính quy là đóng nguyên (VIII, § 5, No. 2, hệ quả 1 của định lý 1). Hệ quả 3 do đó suy ra từ hệ quả 2 và § 1, No. 10, mệnh đề 16.

Thật vậy, ta có $\dim(B) = \dim_A(B)$ (VIII, § 2, No. 3, th. 1); hơn nữa, $B$ là một vành Macaulay khi và chỉ khi nó là một $A$-môđun Macaulay (§ 2, No. 6, mệnh đề 8). Vì vậy chỉ cần áp dụng các hệ quả 1 và 2.

Ta đã thấy rằng một vành địa phương Noether chính quy có chiều đồng điều hữu hạn (mệnh đề 1).

Ngược lại, cho $A$ là một vành địa phương Noether có chiều đồng điều hữu hạn $n$; theo § 3, No. 3, Hệ quả 2 của Mệnh đề 4 và No. 5, Định lý 1, ta có

Nếu $n = 0$, $A$-môđun $\kappa_A$ là tự do, do đó $m_A = 0$ và $A$ là một trường. Giả sử $n > 0$ và lập luận bằng quy nạp theo $n$. Vì $\mathrm{prof}(A) > 0$, iđêan $m_A$ không liên kết với $A$ (§ 1, No. 1, Nhận xét 2), do đó không được chứa trong hợp của $m_A^2$ và các iđêan liên kết với $A$ (II, $§ 1$, No. 1, Mệnh đề 2). Do đó (IV, $§ 1$, No. 1, Hệ quả 2 của Mệnh đề 2), ta có thể tìm được một phần tử $x$ của $m_A - m_A^2$ sao cho phép vị tự $x_A$ là đơn ánh. Gọi $B$ là vành địa phương Noether $A/xA$ và xét dãy các $A$-môđun trong đó ánh xạ $i$ được suy ra bằng cách chuyển qua các môđun thương từ ánh xạ $a \mapsto ax$ của $A$ vào $m_A$, và trong đó $p$ là toàn cấu chính tắc; nó là khớp. Vì lớp của $x$ trong không gian vectơ $\kappa_A$ $m_A/m_A^2$ là khác không, tồn tại một ánh xạ $A$-tuyến tính $\phi : m_A \to \kappa_A$ với $\phi(x) = 1$; bằng cách chuyển qua môđun thương, ta suy ra từ $\phi$ một phép rút của $i$, sao cho dãy khớp trước đó là tách. Điều này kéo theo các hệ thức (Hệ quả 2 của Mệnh đề 7 của § 3, No. 4 và $A$, X, p. 135, Hệ quả 1). Hệ quả 2 của loc. cit. áp dụng cho dãy khớp các $B$-môđun $0 \to m_B \to B \to \kappa_B \to 0$ suy ra $\mathrm{dp}_B(\kappa_B) < +\infty$. Do đó vành $B$ có chiều đồng điều hữu hạn (§ 3, No. 3, Hệ quả 2 của Mệnh đề 4), và có độ sâu $n - 1$ (§ 1, No. 4, Mệnh đề 7 và No. 3, Hệ quả của Mệnh đề 4). Theo giả thiết quy nạp, $B$ là chính quy, do đó $A$ là chính quy (VIII, $§ 5$, No. 3, Hệ quả 1 của Mệnh đề 2).

Do đó, nếu $A$ là một vành địa phương Noether, có một sự tương đương giữa ba tính chất sau: (i) $A$ là chính quy; (ii) $A$-môđun $\kappa_A$ có chiều xạ ảnh hữu hạn; (iii) mọi $A$-môđun sinh hữu hạn đều có chiều xạ ảnh $< +\infty$.

Ta hãy chứng minh rằng (i) kéo theo (ii). Cho $M$ là một $A$-môđun sinh hữu hạn. Dưới giả thiết (i), ta có $\mathrm{dp}_{A_m}(M_m) \leq \mathrm{dh}(A_m) < +\infty$ với mọi iđêan cực đại $m$ của $A$ (No. 1, mệnh đề 1); do đó $M$ có chiều xạ ảnh $< +\infty$ ($§ 3$, No. 2, hệ quả 2 của mệnh đề 3), do đó (ii).

(i) ta có $\mathrm{dh}(A) < +\infty$ ; (ii) $A$ là chính quy và ta có $\dim(A) < +\infty$.

Nếu các điều kiện này được thỏa mãn, ta có $\dim(A) = \mathrm{dh}(A)$.

Nếu vành $A$ là chính quy, ta có với mọi iđêan cực đại $m$ của $A$ đẳng thức $\dim(A_m) = \mathrm{dh}(A_m)$ (No. 1, mệnh đề 1), và do đó

($§ 3$, No. 2, mệnh đề 3 và VIII, $§ 1$, No. 3, mệnh đề 8). Mặt khác, nếu $\mathrm{dh}(A) < +\infty$, vành $A$ là chính quy theo mệnh đề 4. Hệ quả suy ra.

Tồn tại các vành Noether chính quy có chiều vô hạn (VIII, $§ 5$, bài tập 6).

Thực vậy, một vành địa phương chính quy là đóng nguyên (VIII, $§ 5$, No. 2, hệ quả 1 của định lý 1), Gorenstein ($§ 3$, No. 9, ví dụ 4) và Macaulay ($§ 2$, No. 5, ví dụ 6).

a) Để vành $\hat{A}$ là chính quy, điều kiện cần và đủ là, với mọi iđêan cực đại $m$ của $A$ chứa $J$, vành $A_m$ là chính quy.

b) Nếu vành $A$ là chính quy, vành $\hat{A}$ là chính quy. Nếu vành $\hat{A}$ là chính quy và iđêan $J$ được chứa trong căn của $A$, vành $A$ là chính quy.

Cho $p$ là một iđêan nguyên tố của $S_A(P)$ và $q$ là ảnh ngược của nó trong $A$. Vành địa phương $S_A(P)_p$ là một vành phân thức của vành $S_A(P)_q$, vành này đẳng cấu với $S_{A_q}(P_q)$ (A, III, p. 72, mệnh đề 7); chỉ cần chứng minh rằng vành sau là chính quy. Điều này đưa ta về trường hợp $A$ là địa phương; nhưng khi đó $P$ là tự do kiểu hữu hạn. Theo mệnh đề 1 của No. 1 và A, X, p. 143, hệ quả 1, ta có $dh(S_A(P)) = dh(A) + rg_A(P) < +\infty$, và $S_A(P)$ là chính quy theo mệnh đề 4.

Điều này suy ra từ hệ quả 4 và hệ quả 3 b).

Điểm cần chứng minh là, với mọi iđêan cực đại $m$ của $A$, $A_m$-môđun $N_m$ là tự do (II, § 5, No. 2, định lý 1). $A$-môđun $B/\mathrm{Ann}_B(N)$ là một môđun con của $A$-môđun sinh hữu hạn $\mathrm{End}_A(N)$, và do đó là sinh hữu hạn. Nếu thay $B$ bởi $B/\mathrm{Ann}_B(N)$, các giả thiết của mệnh đề vẫn được thỏa mãn ($§ 2$, No. 1, ví dụ 5); vì vậy ta có thể giả sử rằng $B$ là một A-môđun sinh hữu hạn và rằng $\mathrm{Supp}_B(N) = \mathrm{Spec}(B)$.

Cho $m$ là một iđêan cực đại của $\mathrm{Supp}_A(N)$; đặt $n = \dim(A_m)$. Theo Hệ quả 2 của Mệnh đề 3 của No. 1, chỉ cần chứng minh rằng $N_m$ là một A-môđun Macaulay $A_m$ có chiều $n$. Mọi iđêan cực đại của $B_m$ đều có dạng $nB_m$, trong đó $n$ là một iđêan nguyên tố của $B$ nằm trên $m$ (V, § 2, No. 1, Bổ đề 1 và Mệnh đề 1). Cho $p$ là một iđêan nguyên tố cực tiểu của $\mathrm{Supp}_B(N)$, được chứa trong $n$. Tập con đóng $V(pB_n)$ của $\mathrm{Supp}_{B_n}(N_n)$ khi đó có đối chiều không; vì $B_n$-môđun $N_n$ là Macaulay, Hệ quả của Mệnh đề 2, § 2, No. 2 suy ra đẳng thức $\dim_{B_n}(N_n) = \dim(B_n/pB_n)$. Nhưng $p$ nằm trên một iđêan nguyên tố cực tiểu của $A$, được chứa trong $m$, do đó

Nếu vành B là một vành Macaulay, A-môđun B là xạ ảnh theo Mệnh đề 5.

Ngược lại, giả sử rằng A-môđun B là xạ ảnh. A-môđun A là Macaulay (Hệ quả 2 của Mệnh đề 4); A-môđun B là một nhân tử trực tiếp của một A-môđun tự do kiểu hữu hạn, do đó là Macaulay (§ 2, No. 1, Ví dụ 2). Khi đó áp dụng Hệ quả 1 của Mệnh đề 8 của § 2, No. 6.

b) Cho A là một vành trình bày được và J là một iđêan của A. Hoàn thành đầy đủ $\widehat{A}$ của A đối với tôpô J-adic là trình bày được.

c) Mọi vành địa phương Noether đầy đủ đều là trình bày được.

d) Cho A là một vành địa phương trình bày được. Tồn tại một vành địa phương chính quy R và một đồng cấu địa phương toàn ánh từ R lên A.

Cho A là một vành trình bày được; chọn một vành chính quy R và một đồng cấu toàn ánh $\rho : R \to A$.

a) Cho S là một tập con nhân của A; đặt T = $\rho^{-1}(S)$. Đồng cấu $T^{-1}R \to S^{-1}A$ suy ra từ $\rho$ là toàn ánh và vành $T^{-1}R$ là chính quy (No. 3, Ví dụ 1), do đó $S^{-1}A$ là trình bày được.

Cho B là một đại số trên A kiểu hữu hạn; tồn tại một tập hữu hạn I và một đồng cấu toàn ánh $A[(T_i)_{i \in I}] \to B$, do đó có một đồng cấu toàn ánh $R[(T_i)_{i \in I}] \to B$. Vì vành $R[(T_i)_{i \in I}]$ là chính quy (No. 2, Hệ quả 5 của Mệnh đề 4), vành B là trình bày được.

b) Đặt $I = \rho^{-1}(J)$ và ký hiệu $\hat{R}$ là hoàn thành đầy đủ của R đối với tôpô I-adic; với mỗi số nguyên $n \geq 0$, ánh xạ chính tắc $I^n/I^{n+1} \to J^n/J^{n+1}$ là toàn ánh. Do đó, đồng cấu $\hat{R} \to \hat{A}$ suy ra từ $\rho$ là toàn ánh (III, § 2, No. 8, Hệ quả 2 của Định lý 1); vì $\hat{R}$ là chính quy (No. 2, Hệ quả 3 của Mệnh đề 4), vành $\hat{A}$ là trình bày được.

c) Điều này suy ra từ IX, § 2, No. 5, Định lý 3 a) và IX, § 3, No. 3, Định lý 2 a).

d) Cho $m_A$ là iđêan cực đại của A; khi đó $p = \rho^{-1}(m_A)$ là một iđêan nguyên tố của R, vành địa phương $R_p$ là chính quy và đồng cấu $R_p \to A$ suy ra từ $\rho$ là địa phương và toàn ánh.

Vì các trường và các vành Dedekind là chính quy, do đó là trình bày được, Mệnh đề 6 suy ra rằng phần lớn các vành thường gặp trong hình học đại số là trình bày được.

a) Vành $A$ là Noether và catenary.

b) Cho M là một A-môđun sinh hữu hạn. Ánh xạ

từ $\operatorname{Spec}(A)$ vào $\mathbf{Z}$ là nửa liên tục trên.

c) Cho M là một $A$-môđun sinh hữu hạn. Tập hợp các $p \in \operatorname{Spec}(A)$ sao cho A-môđun $M_p$ là Macaulay là một tập mở trù mật. Giao của nó với $\operatorname{Supp}(M)$ là trù mật trong $\operatorname{Supp}(M)$.

Chọn một vành chính quy R và một đồng cấu toàn ánh $R \to A$.

a) Vành R là một vành Macaulay (No. 2, Hệ quả 2 của Mệnh đề 4), do đó A là catenary ($§ 2$, No. 2, Mệnh đề 2 và VIII, § 1, No. 3, Nhận xét 2).

b) Môđun $R$ M là sinh hữu hạn và có chiều xạ ảnh $< +\infty$ (No. 1, Mệnh đề 1). Ta đồng nhất $\operatorname{Spec}(A)$ với một tập con đóng của $\operatorname{Spec}(R)$. Khi đó hàm $p \mapsto \dim_{A_p}(M_p) - \operatorname{prof}_{A_p}(M_p)$ trên $\operatorname{Spec}(A)$ là hạn chế của hàm $q \mapsto \dim_{R_q}(M_q) - \operatorname{prof}_{R_q}(M_q)$ trên $\operatorname{Spec}(R)$; do đó chỉ cần áp dụng Hệ quả 4 của Định lý 1 của § 3, No. 5.

c) Điều này được chứng minh như trong phần c) của tài liệu đã dẫn.

a) Với mọi A-môđun sinh hữu hạn M, ta có $dp_A(M) = dp_B(B \otimes_A M)$.

b) Nếu vành B là chính quy, thì vành A là chính quy.

trong đó $A$-môđun $L$ là tự do kiểu hữu hạn. Ta có $dp_A(N) = dp_A(M) - 1$ (A, X, p. 135, Hệ quả 2 của Mệnh đề 1). Vì $B$ là phẳng trên $A$, dãy

là khớp và ta có $dp_B(B \otimes_A N) = dp_B(B \otimes_A M) - 1$. Giả thiết quy nạp áp dụng cho $N$ cho phép ta kết luận. Điều này chứng minh a); mệnh đề b) suy ra từ a) và Mệnh đề 4 của No. 2.

(i) $A$ là chính quy ; (ii) $B$ là một A-môđun xạ ảnh ; (iii) $B$ là một A-môđun phẳng ; (iv) $B$ là một A-môđun phẳng trung thành.

(i) $\Rightarrow$ (ii) : điều này suy ra từ Hệ quả của Mệnh đề 5 của No. 3. (ii) $\Rightarrow$ (iii) : điều này suy ra từ I, § 3, No. 1, Mệnh đề 1. (iii) $\Rightarrow$ (iv) : với mọi iđêan nguyên tố $\mathfrak{p}$ của $A$, ta có $\mathfrak{p}B \neq B$ (V, § 2, No. 1, Hệ quả 1 của Định lý 1). Do đó chỉ cần áp dụng I, § 3, No. 1, Mệnh đề 1. (iv) $\Rightarrow$ (i) : điều này suy ra từ Mệnh đề 8, b).

Với mọi vành địa phương Noether $A$, ta ký hiệu số nguyên

bởi $\delta(A)$.

Nhắc lại (VIII, § 5, No. 1) rằng $\delta(A)$ luôn dương và sự triệt tiêu của nó đặc trưng các vành địa phương chính quy.

Cho $\rho : A \to B$ là một đồng cấu địa phương của các vành địa phương Noether; từ $\rho$ suy ra một đồng cấu $\kappa_A$-tuyến tính $\mathfrak{m}_A / \mathfrak{m}_A^2 \to \mathfrak{m}_B / \mathfrak{m}_B^2$, do đó một đồng cấu $\kappa_B$-tuyến tính

Bổ đề 1.— Ta có

Gọi $C$ là vành địa phương $\kappa_A \otimes_A B$. Xét dãy khớp các B-môđun

bằng tích tenxơ với $\kappa_B$, ta thu được một dãy khớp các không gian vectơ $\kappa_{13}$

do đó suy ra đẳng thức

điều này kéo theo bổ đề.

là đơn ánh; (ii) các vành $B$ và $\kappa_A \otimes_A B$ là chính quy và A-môđun $B$ là phẳng; (iii) các vành $A$ và $\kappa_A \otimes_A B$ là chính quy và A-môđun $B$ là phẳng; (iv) các vành $A$ và $\kappa_A \otimes_A B$ là chính quy, và ta có

Ta có $\dim(B) \leq \dim(A) + \dim(\kappa_A \otimes_A B)$ (VIII, § 3, No. 4, Hệ quả 1 của Mệnh đề 7); do đó sự tương đương của (i) và (iv) suy ra từ Bổ đề 1. Dưới giả thiết (ii), A-môđun $B$ là phẳng trung thành vì ta có $\mathfrak{m}_A B \subset \mathfrak{m}_B \neq B$ (I, § 3, No. 1, Mệnh đề 1), điều này suy ra (iii) theo Mệnh đề 8. Kéo theo (iii) $\Rightarrow$ (iv) suy ra từ VIII, loc. cit.

Bây giờ còn lại là chứng minh rằng khi các điều kiện tương đương (i) và (iv) được thỏa mãn, A-môđun $B$ là phẳng. Cho $x$ là một hệ tọa độ của $A$. Vì $d\rho$ là đơn ánh, ảnh của dãy này qua $\rho$ tạo thành một phần của một hệ tọa độ của $B$. Do đó dãy $x$ là hoàn toàn cắt đối với $A$ và đối với $B$ (VIII, § 5, No. 3, Mệnh đề 2), và sinh ra iđêan $\mathfrak{m}_A$ của $A$. Theo Nhận xét 3 của A, X, p. 159, A-môđun $\mathrm{Tor}_1^A(\kappa_A, B)$ đẳng cấu với $H_1(x, B)$, và do đó là không; suy ra $B$ là phẳng trên $A$ (III, § 5, No. 2, Định lý 1 và No. 4, Mệnh đề 2).

Thật vậy, đối với mọi iđêan cực đại $\mathfrak{n}$ của $B$, A-môđun $B_n$ của $A_{\rho^{-1}(\mathfrak{n})}$ là phẳng (II, § 3, No. 4, Mệnh đề 15), do đó vành $B_n$ là chính quy theo Mệnh đề 9.