Exercice 1, § 6

Soient $k$ un corps non parfait de caractéristique $p > 2$, $a$ un élément de $k - k^p$, A l’anneau $k[X, Y]/(X^2 - Y^p + a)$.

a) Prouver que l’anneau A est régulier (on pourra prouver que A est intégralement clos dans son corps des fractions $K = k(Y)[X]/(X^2 - Y^p + a)$).

b) Prouver que $k$ est algébriquement fermé dans K.

c) Soit $k'$ l’extension $k(a^{1/p})$ de $k$; prouver que l’anneau $A \otimes_k k'$ n’est pas normal.