Bài tập 1, § 6

Cho $k$ là một trường không hoàn hảo có đặc số $p > 2$, $a$ là một phần tử của $k - k^p$, A là vành $k[X, Y]/(X^2 - Y^p + a)$.

a) Chứng minh rằng vành A là chính quy (có thể chứng minh rằng A là đóng nguyên trong trường phân thức của nó $K = k(Y)[X]/(X^2 - Y^p + a)$).

b) Chứng minh rằng $k$ là đóng đại số trong K.

c) Cho $k'$ là mở rộng $k(a^{1/p})$ của $k$; chứng minh rằng vành $A \otimes_k k'$ không chuẩn.