Exercice 3, § 6

Soient A un anneau noethérien et $\rho : A \to B$ un homomorphisme d’anneaux. On dit que la A-algèbre B est absolutely régulière si B est un anneau noethérien et un A-module plat et que, pour tout $\mathfrak{p} \in \mathrm{Spec}(A)$, la $\kappa(\mathfrak{p})$-algèbre $\kappa(\mathfrak{p}) \otimes_A B$ est absolument régulière.

a) Soient T une partie multiplicative de B et S une partie de A telle que $\rho(S) \subset T$. Si B est une A-algèbre régulière, $T^{-1}B$ est une $S^{-1}A$-algèbre régulière.

b) Pour qu’une A-algèbre noethérienne B soit absolument régulière, il faut et il suffit que pour tout idéal maximal n de B, la $A_{\rho^{-1}(n)}$-algèbre $B_n$ soit absolument régulière.

c) Si C est une B-algèbre absolument régulière et B une A-algèbre absolument régulière, C est une A-algèbre absolument régulière.

d) Si B est un anneau noethérien et que C est un B-module fidèlement plat et une A-algèbre absolument régulière, B est une A-algèbre absolument régulière.

e) Soient B une A-algèbre absolument régulière et $A'$ une A-algèbre essentiellement de type fini. La $A'$-algèbre $A' \otimes_A B$ est absolument régulière.