Bài tập 3, § 6

Cho A là một vành Noether và $\rho : A \to B$ là một đồng cấu của các vành. Ta nói rằng đại số trên A B là tuyệt đối chính quy nếu B là một vành Noether và là một A-môđun phẳng, và nếu, với mọi $\mathfrak{p} \in \mathrm{Spec}(A)$, đại số trên $\kappa(\mathfrak{p})$ $\kappa(\mathfrak{p}) \otimes_A B$ là tuyệt đối chính quy.

a) Cho T là một tập nhân của B và S là một tập con của A sao cho $\rho(S) \subset T$. Nếu B là một đại số trên A chính quy, $T^{-1}B$ là một đại số trên $S^{-1}A$ chính quy.

b) Để một đại số trên A Noether B là tuyệt đối chính quy, điều kiện cần và đủ là, với mọi iđêan cực đại n của B, đại số trên $A_{\rho^{-1}(n)}$ $B_n$ là tuyệt đối chính quy.

c) Nếu C là một đại số trên B tuyệt đối chính quy và B là một đại số trên A tuyệt đối chính quy, thì C là một đại số trên A tuyệt đối chính quy.

d) Nếu B là một vành Noether và C là một B-môđun phẳng trung thành và là một đại số trên A tuyệt đối chính quy, thì B là một đại số trên A tuyệt đối chính quy.

e) Cho B là một đại số trên A tuyệt đối chính quy và $A'$ là một đại số trên A về cơ bản là kiểu hữu hạn. Đại số trên $A'$ $A' \otimes_A B$ là tuyệt đối chính quy.