Exercice 5, § 6

On dit que A est un anneau de Grothendieck si A est un anneau noethérien et que, pour tout idéal premier $\mathfrak{p}$ de A, le complété de l’anneau local $A_\mathfrak{p}$ est une $A_\mathfrak{p}$-algèbre absolument régulière (exerc. 3).

a) Prouver que tout anneau de fractions et tout quotient d’un anneau de Grothendieck est un anneau de Grothendieck.

b) Soient A un anneau noethérien et B une A-algèbre fidèlement plate absolument régulière. Si B est un anneau de Grothendieck, prouver qu’il en est de même de A (si $\mathfrak{p}$ est un idéal premier de A et q un idéal premier de B au-dessus de $\mathfrak{p}$, on montrera que $\widehat{B_q}$ est un $\widehat{A_\mathfrak{p}}$-module fidèlement plat en utilisant III, § 5, n° 4, prop. 4 ; on appliquera ensuite l’exerc. 3).