Bài tập 5, § 6

Người ta nói rằng A là một vành Grothendieck nếu A là một vành Noether và nếu, với mọi iđêan nguyên tố $\mathfrak{p}$ của A, bao hoàn thành của vành địa phương $A_\mathfrak{p}$ là một đại số trên $A_\mathfrak{p}$ chính quy tuyệt đối (Bài tập 3).

a) Chứng minh rằng mọi vành phân thức và mọi thương của một vành Grothendieck đều là một vành Grothendieck.

b) Cho A là một vành Noether và B là một đại số trên A phẳng trung thành chính quy tuyệt đối. Nếu B là một vành Grothendieck, chứng minh rằng điều tương tự cũng đúng đối với A (nếu $\mathfrak{p}$ là một iđêan nguyên tố của A và q là một iđêan nguyên tố của B nằm trên $\mathfrak{p}$, ta sẽ chỉ ra rằng $\widehat{B_q}$ là một $\widehat{A_\mathfrak{p}}$-môđun phẳng trung thành bằng cách sử dụng III, § 5, No. 4, Mệnh đề 4; sau đó ta sẽ áp dụng Bài tập 3).