Exercice 7, § 6

a) Montrer qu’un anneau de Dedekind intègre de caractéristique 0 est un anneau de Grothendieck.

b) Soient $k$ un corps de caractéristique $p > 0$ tel que $k$ soit de dimension infinie sur $k^p$, $r$ un entier $\geqslant 1$, et $A$ le sous-anneau de $k[[X_1, \ldots, X_r]]$ formé des séries formelles dont les coefficients engendrent un espace vectoriel de dimension finie sur $k^p$. Montrer que $A$ est un anneau local régulier de dimension $r$ dont le complété s’identifie à $k[[X_1, \ldots, X_r]]$, mais n’est pas un anneau de Grothendieck (utiliser l’exerc. 17 de III, § 3).