Soit $\tilde{\varphi}_0 : A \to C$ un relèvement de $\varphi$. L’application $\delta \mapsto \delta + \tilde{\varphi}_0$ induit une bijection de l’ensemble des applications de $A$ dans $N$ sur l’ensemble des applications $\tilde{\varphi} : A \to C$ telles que $\pi \circ \tilde{\varphi} = \varphi$. Fixons $\delta$, et posons $\tilde{\varphi} = \delta + \tilde{\varphi}_0$. Pour que $\tilde{\varphi}$ soit un homomorphisme de $k$-algèbres, il faut et il suffit que $\delta$ soit une $k$-dérivation de $A$ dans $N$ : en effet, pour $x, y$ dans $A$ et $\lambda$ dans $k$, on a les relations

la dernière égalité résultant du fait que $N$ est de carré nul. La proposition en résulte.

(i) l’ensemble des rétractions $A/J$-linéaires $v$ de $\bar{d}$ ; (ii) l’ensemble des homomorphismes de $k$-algèbres $h : A/J \to A/J^2$ tels que $\pi \circ h = \mathrm{Id}_{A/J}$ ; (iii) l’ensemble des isomorphismes de $k$-algèbres $\psi : A/J \oplus J/J^2 \longrightarrow A/J^2$ tels que $\pi \circ \psi = \mathrm{pr}_1$ et $\psi(0, z) = z$ pour $z \in J/J^2$.

Appliquons la prop. 1 avec $C = A/J^2$ et $N = J/J^2$. Soit $\varphi : A \to A/J$ la surjection canonique ; l’homomorphisme $\rho$ est un relèvement de $\varphi$ à $A/J^2$. Le A-module $\mathrm{Hom}_{A/J}((A/J) \otimes_A \Omega_k(A), J/J^2)$ s’identifie à $\mathrm{Hom}_A(\Omega_k(A), J/J^2)$ ; d’après la prop. 1, l’application $v \mapsto H_v$ est une bijection de cet ensemble sur l’ensemble des relèvements de $\varphi$ à $A/J^2$. Pour $x \in J$, on a $1 \otimes dx = \bar{d}(\rho(x))$ ; pour que $H_v$ s’annule sur J, il faut et il suffit que $v \circ \bar{d}$ soit l’application identique de $J/J^2$. Cela prouve que l’application $v \mapsto h_v$ induit une bijection entre les deux premiers ensembles décrits dans l’énoncé.

L’application $h \mapsto \psi_h$ est une bijection de l’ensemble des homomorphismes $k$-linéaires de $A/J$ dans $A/J^2$ sur l’ensemble des homomorphismes $k$-linéaires $\psi : A/J \oplus J/J^2 \longrightarrow A/J^2$ tels que $\psi(0, z) = z$ pour $z \in J/J^2$ ; de plus pour qu’on ait $\pi \circ \psi_h = \mathrm{pr}_1$ il faut et il suffit qu’on ait $\pi \circ h = \mathrm{Id}_{A/J}$, c’est-à-dire $z \equiv h(\pi(z)) \pmod{J/J^2}$ pour tout $z \in A/J^2$. Supposons ces conditions vérifiées. Pour que $h$ soit un homomorphisme d’anneaux, il faut et il suffit qu’il en soit ainsi de $\psi_h$ ; de plus, l’homomorphisme $\psi_h$ est bijectif : l’application réciproque associe à un élément $z$ de $A/J^2$ le couple $(\pi(z), z - h(\pi(z)))$. Cela prouve que l’application $h \mapsto \psi_h$ induit une bijection entre les deux derniers ensembles décrits dans l’énoncé.

a) Soient $A$ et $B$ des $k$-algèbres linéairement topologisées et $\rho : A \to B$ un homomorphisme continu de $k$-algèbres. Si $A$ est formellement lisse sur $k$ et $B$ formellement lisse sur $A$, alors $B$ est formellement lisse sur $k$.

b) La $k$-algèbre produit d’une famille finie de $k$-algèbres linéairement topologisées formellement lisses est formellement lisse.

c) Soient $A$ une $k$-algèbre linéairement topologisée, et $\hat{A}$ l’algèbre séparée complétée de $A$ ; pour que $A$ soit formellement lisse sur $k$, il faut et il suffit qu’il en soit ainsi de $\hat{A}$.

Soient C une $k$-algèbre, N un idéal de carré nul de C, et $\pi : C \to C/N$ la surjection canonique. Munissons C et C/N de la topologie discrète.

a) Soit $\psi : B \to C/N$ un homomorphisme continu de $k$-algèbres. Puisque A est formellement lisse sur $k$, il existe un homomorphisme continu de $k$-algèbres $\tilde{\varphi} : A \to C$ tel que $\pi \circ \tilde{\varphi} = \psi \circ \rho$.

Considérons C et C/N comme des A-algèbres à l’aide de $\tilde{\varphi}$, de sorte que $\psi$ est un homomorphisme de A-algèbres ; puisque B est formellement lisse sur A, il existe un homomorphisme continu de A-algèbres $\tilde{\psi} : B \to C$ tel que $\pi \circ \tilde{\psi} = \psi$, d’où a).

b) Il suffit de prouver que le produit de deux $k$-algèbres formellement lisses $A_1$ et $A_2$ est formellement lisse. Soit $\varphi : A_1 \times A_2 \to C/N$ un homomorphisme continu de $k$-algèbres. Posons $e_1 = \varphi(1,0)$, $e_2 = \varphi(0,1)$, de sorte que $e_1$ et $e_2$ sont des idempotents orthogonaux dans C/N. Notons $\varphi_1 : A_1 \to (C/N)e_1$ et $\varphi_2 : A_2 \to (C/N)e_2$ les applications définies par $\varphi_1(a_1) = \varphi(a_1,0)$ et $\varphi_2(a_2) = \varphi(0,a_2)$; ce sont des homomorphismes continus de $k$-algèbres, et l’on a $\varphi(a_1, a_2) = \varphi_1(a_1) + \varphi_2(a_2)$ pour tout $(a_1, a_2) \in A_1 \times A_2$. Il existe un élément idempotent $\tilde{e}_1$ de C tel que $\pi(\tilde{e}_1) = e_1$ (A, VIII, § 9, n° 4, prop. 7) ; posons $\tilde{e}_2 = 1 - \tilde{e}_1$, de sorte que $\pi(\tilde{e}_2) = e_2$. Pour $i = 1, 2$, l’homomorphisme $C\tilde{e}_i \to (C/N)e_i$ induit par $\pi$ est surjectif, de noyau $N\tilde{e}_i$; puisque la $k$-algèbre $A_i$ est formellement lisse, l’homomorphisme $\varphi_i$ admet un relèvement continu $\tilde{\varphi}_i$ à $C\tilde{e}_i$. L’application $(a_1, a_2) \mapsto \tilde{\varphi}_1(a_1) + \tilde{\varphi}_2(a_2)$ est un relèvement continu de $\varphi$ à C.

c) Notons $i : A \to \widehat{A}$ l’homomorphisme canonique. Pour tout anneau D, muni de la topologie discrète, l’application qui associe à un homomorphisme continu $f : \widehat{A} \to D$ l’homomorphisme continu $f \circ i : A \to D$ est bijective. L’assertion c) en résulte.

L’assertion c) de la proposition s’applique en particulier lorsque la topologie de $A$ est la topologie J-adique, où J est un idéal de type fini ; l’adhérence $\widehat{J}$ de J dans $\widehat{A}$ est alors égale à $JA$ et la topologie de $\widehat{A}$ est la topologie $\widehat{J}$-adique (III, § 2, n° 12, cor. 2 de la prop. 16). Par conséquent, il est équivalent de dire que A est formellement lisse pour la topologie J-adique ou que son séparé complété $\widehat{A}$ est formellement lisse pour la topologie J-adique.

a) Soient S une partie multiplicative de A et T une partie de k dont l’image dans A est contenue dans S. Si A est formellement lisse sur k pour la topologie J-adique, S $^1A$ est formellement lisse sur $T^{-1}k$ pour la topologie $S^{-1}J$-adique.

b) Soit $k'$ une $k$-algèbre. Si $A$ est formellement lisse sur $k$ pour la topologie $J$-adique, la $k'$-algèbre $A_{(k')}$ est formellement lisse sur $k'$ pour la topologie $JA_{(k')}$-adique.

c) Désignons par $I$ l’idéal de $A \otimes_k B$ engendré par les images de $J \otimes_k B$ et $A \otimes_k K$. Si $A$ et $B$ sont formellement lisses sur $k$ pour les topologies $J$-adique et $K$-adique respectivement, la $k$-algèbre $A \otimes_k B$ est formellement lisse pour la topologie $I$-adique.

a) Sous les hypothèses de a), soient $C$ une $T^{-1}k$-algèbre, $N$ un idéal de carré nul de $C$; munissons $C$ et $C/N$ de la topologie discrète et notons $\pi : C \to C/N$ la surjection canonique. Soit $\varphi : S^{-1}A \longrightarrow C/N$ un homomorphisme de $T^{-1}k$-algèbres, continu pour la topologie $S^{-1}J$-adique. Notons $i$ l’homomorphisme canonique de $A$ dans $S^{-1}A$. L’application $\varphi \circ i$ est un homomorphisme de $k$-algèbres, continu pour la topologie $J$-adique, donc admet un relèvement $\tilde{\varphi}_0 : A \to C$. Les éléments de $\tilde{\varphi}_0(S)$ sont inversibles modulo $N$, donc inversibles puisque $N$ est de carré nul. Par suite il existe un homomorphisme d’anneaux $\tilde{\varphi} : S^{-1}A \to C$ tel que $\tilde{\varphi} \circ i = \tilde{\varphi}_0$ (II, § 2, n° 1, prop. 1); d’après le cor. 3 de la prop. 2 de loc. cit., $\tilde{\varphi}$ est $T^{-1}k$-linéaire. On a $\pi \circ \tilde{\varphi} \circ i = \varphi \circ i$, d’où $\pi \circ \tilde{\varphi} = \varphi$ (loc. cit., prop. 1), de sorte que $\tilde{\varphi}$ est un relèvement de $\varphi$.

b) Plaçons-nous sous les hypothèses de b). Soient $C$ une $k'$-algèbre, $N$ un idéal de carré nul de $C$; munissons $C$ et $C/N$ de la topologie discrète. Soit $\varphi : A_{(k')} \longrightarrow C/N$ un homomorphisme de $k'$-algèbres, continu pour la topologie $JA_{(k')}$-adique. Notons $i : A \to A_{(k')}$ l’homomorphisme canonique. L’application $\varphi \circ i$ est un homomorphisme de $k$-algèbres de $A$ dans $C/N$, continu pour la topologie $J$-adique; si $A$ est formellement lisse sur $k$ pour la topologie $J$-adique, $\varphi \circ i$ admet un relèvement $\tilde{\psi} : A \to C$. L’homomorphisme de $k'$-algèbres $\tilde{\varphi} : A_{(k')} \longrightarrow C$ déduit de $\tilde{\psi}$ est un relèvement de $\varphi$.

c) Plaçons-nous sous les hypothèses de c). La $B$-algèbre $A \otimes_k B$ est formellement lisse pour la topologie $J(A \otimes_k B)$-adique d’après b), donc pour la topologie $I$-adique; de plus l’homomorphisme canonique $B \to A \otimes_k B$ est continu lorsqu’on munit $B$ de la topologie $K$-adique et $A \otimes_k B$ de la topologie $I$-adique. L’assertion c) résulte donc de la prop. 3, a).

Cela résulte du théorème et de la prop. 3 a) du n° 2.

Pour tout entier $n > m$, notons $\pi_n : C/C_n \to C/C_{n-1}$ la surjection canonique. Puisque $C$ s’identifie à la limite projective des $C/C_n$, il revient au même de se donner un relèvement continu de $\varphi$ à $C$ ou une famille $(\varphi_n)_{n > m}$ d’homomorphismes continus de $k$-algèbres $\varphi_n : A \to C/C_n$, satisfaisant à $\pi_n \circ \varphi_n = \varphi_{n-1}$. Cela nous ramène, par récurrence sur $m$, à prouver l’énoncé lorsque $C_{m+1} = 0$. L’idéal $C_m$ est alors de carré nul (car $2m \geq m+1$), d’où la proposition puisque $A$ est formellement lisse.

(i) la k-algèbre topologique A est formellement lisse ; (ii) le $A/J$-module $J/J^2$ est projectif et l’homomorphisme canonique ($\S$ 5, n° 2)

est bijectif ; (iii) le $A/J$-module $J/J^2$ est projectif et il existe un isomorphisme de k-algèbres topologiques de l’algèbre séparée complétée de A sur l’algèbre complétée de l’algèbre graduée $S_{A/J}(J/J^2)$.

Si A est noethérien, ces conditions équivalent aussi à :

(iv) l’idéal J est complètement sécant.

Observons d’abord que (iii) implique (i) : en effet, sous les hypothèses de (iii), l’algèbre $S_{A/J}(J/J^2)$, munie de la topologie associée à sa graduation, est formellement lisse sur $A/J$ (n° 3, exemple 1), donc sur k (n° 2, prop. 3, a)) ; l’assertion (i) résulte alors de la prop. 3, c) du n° 2.

Notons $\hat{A}$ l’algèbre séparée complétée de A et $\hat{J}$ le séparé complété de J. L’homomorphisme canonique $i : A \to \hat{A}$ induit un isomorphisme $A/J \to \hat{A}/\hat{J}$ (III, § 2, n° 12, formule (21)). Soit $\varphi : A/J \to \hat{A}$ un relèvement de cet isomorphisme (n° 4, prop. 5). Notons $\lambda : \hat{J} \to J/J^2$ la surjection déduite de l’isomorphisme canonique $J/J^2 \to \hat{J}/\hat{J}^2$ (III, § 2, n° 12, formule (21)). Soient $a$ un élément de A, $\bar{a}$ sa classe dans $A/J$, et $z$ un élément de $\hat{J}$ ; on a $\varphi(\bar{a}) \equiv i(a) \pmod{\hat{J}}$, d’où $\varphi(\bar{a})z \equiv i(a)z \pmod{\hat{J}^2}$ et $\lambda(\varphi(\bar{a})z) = \lambda(i(a)z) = \bar{a}\lambda(z)$. En d’autres termes, $\lambda$ est A/J-linéaire lorsqu’on munit $\hat{J}$ de la structure de A/J-module déduite de $\varphi$.

Supposons que l’homomorphisme $\lambda$ admette une section A/J-linéaire $\sigma : J/J^2 \to \hat{J}$. Notons S la k-algèbre graduée $S_{A/J}(J/J^2)$ et $\hat{S}$ sa complétée. Soit

l’homomorphisme de k-algèbres tel que $\theta(x) = \varphi(x)$ pour $x$ dans $S^0 = A/J$, et $\theta(x) = \sigma(x)$ pour $x$ dans $S^1 = J/J^2$. Puisque $\theta$ applique $S^1$ dans $\hat{J}$, il applique $S^n$ dans $\hat{J}^n$ et se prolonge donc en un homomorphisme continu $\hat{\theta} : \hat{S} \to \hat{A}$. L’application $\mathrm{gr}_1(\theta) : J/J^2 \to \hat{J}/\hat{J}^2$ est la composée de $\sigma$ avec la surjection canonique $\hat{J} \to \hat{J}/\hat{J}^2$ ; puisque $\sigma$ est une section de $\lambda$, $\mathrm{gr}_1(\theta)$ coïncide avec l’isomorphisme canonique de $J/J^2$ sur $\hat{J}/\hat{J}^2$. Par suite $\mathrm{gr}(\theta) : S \to \mathrm{gr}_{\hat{J}}(\hat{A})$ est la composée de la surjection canonique $\beta$ avec l’isomorphisme canonique $\mathrm{gr}_J(A) \to \mathrm{gr}_{\hat{J}}(\hat{A})$ (III, § 2, n° 12, formule (22)).

Prouvons maintenant l’implication (ii) $\Rightarrow$ (iii). Sous l’hypothèse (ii), le A/J-module $J/J^2$ est projectif, donc $\lambda$ admet une section A/J-linéaire ; l’homomorphisme $\hat{\theta} : \hat{S} \to \hat{A}$ associé à cette section par la construction précédente induit par hypothèse un isomorphisme sur les gradués associés, donc est bijectif (III, , n° 8, cor. 3 du th. 1), ce qui prouve (iii)

Prouvons (i) ⇒ (ii). Supposons la k-algèbre topologique A formellement lisse. Prouvons d’abord que le A/J-module J/J^2 est projectif. Soient M un Λ/J-module et f : M → J/J^2 une application A/J-linéaire surjective ; il s’agit de démontrer que f admet une section Λ/J-linéaire.

Notons π : A/J^2 → A/J la surjection canonique. D’après la remarque 1 du n° 2, il existe un isomorphisme de k-algèbres ψ : A/J ⊕ J/J^2 → A/J^2 tel que π(ψ(y, z)) = y et ψ(0, z) = z pour y ∈ A/J, z ∈ J/J^2. Considérons la k-algèbre (A/J) ⊕ M (n° 1, exemple) et l’application u : (A/J) ⊕ M → A/J^2 telle que u(x, m) = ψ(x, f(m)). C’est un homomorphisme surjectif de k-algèbres, dont le noyau est le sous-module Ker f de M, donc est de carré nul. La surjection canonique ρ : A → A/J^2 est continue ; comme la k-algèbre topologique A est formellement lisse, il existe un homomorphisme de k-algèbres ŝ : A → (A/J)⊕M tel que u◦ŝ = ρ. Comme pr_1 = π◦ψ = π◦u, on a pr_1◦ŝ = π◦u◦ŝ = π◦ρ, de sorte que pr_1◦ŝ est la surjection canonique de A sur A/J. On a donc ŝ(J) ⊂ M et par conséquent ŝ(J^2) = 0, de sorte que ŝ induit une application A/J-linéaire s : J/J^2 → M. On a u◦ŝ = ρ et pr_2◦ψ^{-1}◦u(y, m) = f(m) pour y ∈ A/J et m ∈ M. Soient x ∈ J, et ū sa classe dans J/J^2 ; on a f(s(ū)) = f(pr_2(ŝ(x))) = pr_2(ψ^{-1}(ū)) = ū. Ainsi s est une section de f.

Il reste à prouver que l’homomorphisme β est injectif. Puisque le A/J-module J/J^2 est projectif, λ admet une section A/J-linéaire ; notons θ : S → Ā l’homomorphisme associé. L’homomorphisme gr(θ) s’identifie à β. Soit m un entier ; notons Σ_m la k-algèbre graduée quotient de S par l’idéal $\sum_{i>m} S^i$ et $\theta_m : \Sigma_m \to A/J^{m+1}$ l’homomorphisme déduit de θ. Le composé de θ_m avec la surjection canonique A/J^{m+1} → A/J est la projection canonique de Σ_m sur S^0 = A/J ; par suite le noyau de θ_m est un idéal nilpotent. D’après l’exemple du n° 4, il existe un relèvement ψ_m : A → Σ_m de la surjection canonique A → A/J^{m+1}. Comme le composé de ψ_m avec la projection canonique de Σ_m sur A/J est la surjection canonique, ψ_m(J) est formé d’éléments de degré > 0. Par passage aux gradués associés, on déduit de ψ_m une application k-linéaire graduée gr(ψ_m) : gr_J(A) → Σ_m telle que gr_m(θ)◦gr_m(ψ_m) = Id_{J^m/J^{m+1}}. Il en résulte que gr_m(θ), donc aussi β_m, est injectif, ce qui achève de prouver (ii).

Enfin, lorsque A est noethérien, les conditions (ii) et (iv) sont équivalentes (§ 5, n° 2, th. 1).