a) Les $A$-modules $I(\mathfrak{p})$ sont indécomposables.

b) Soit $I$ un $A$-module injectif indécomposable ; l’ensemble $\mathrm{Ass}(I)$ est réduit à un élément.

c) L’application $\mathfrak{p} \mapsto \mathrm{cl}(I(\mathfrak{p}))$ est une bijection de $\mathrm{Spec}(A)$ sur $\mathscr{J}(A)$. La bijection réciproque associe à un élément $I$ de $\mathscr{J}(A)$ l’unique élément de $\mathrm{Ass}(I)$.

Soit $\mathfrak{p} \in \mathrm{Spec}(A)$ ; prouvons que le module $I(\mathfrak{p})$ est indécomposable. D’après A, X, p. 21, cor. 2, il suffit de prouver que si $a$ et $b$ sont des idéaux de $A$ contenant $\mathfrak{p}$ et distincts de $\mathfrak{p}$, l’idéal $a \cap b$ est distinct de $\mathfrak{p}$; or si $a$ est un élément de $a - \mathfrak{p}$ et $b$ un élément de $b - \mathfrak{p}$, le produit $ab$ appartient à $(a \cap b) - \mathfrak{p}$.

Soit $I$ un $A$-module injectif indécomposable, et soient $\mathfrak{p}, \mathfrak{q}$ des éléments de $\mathrm{Ass}(I)$. Alors $I$ contient un sous-module $M$ isomorphe à $A/\mathfrak{p}$ et un sous-module $N$ isomorphe à $A/\mathfrak{q}$. On a $M \cap N \neq 0$ (A, X, p. 21, prop. 14) ; pour tout élément $x$ non nul de $M \cap N$, on a $\mathfrak{p} = \mathrm{Ann} x = \mathfrak{q}$. Comme $\mathrm{Ass}(I)$ n’est pas vide (IV, § 1, n° 1, cor. 1 de la prop. 2), il est réduit à un élément $\mathfrak{p}(I)$.

Nous avons ainsi défini deux applications $\mathfrak{p} \mapsto \mathrm{cl}(I(\mathfrak{p}))$ de $\mathrm{Spec}(A)$ dans $\mathscr{J}(A)$ et $I \mapsto \mathfrak{p}(I)$ de $\mathscr{J}(A)$ dans $\mathrm{Spec}(A)$ ; prouvons que ces deux applications sont des bijections réciproques l’une de l’autre. Soit $\mathfrak{p} \in \mathrm{Spec}(A)$ ; alors $\mathfrak{p}$ appartient à $\mathrm{Ass}(I(\mathfrak{p}))$, et c’est donc l’unique élément de $\mathrm{Ass}(I(\mathfrak{p}))$. Soient $I$ un $A$-module injectif indécomposable, et $\mathfrak{p}$ l’unique élément de $\mathrm{Ass}(I)$ ; alors $I$ est une enveloppe injective de $A/\mathfrak{p}$ (A, X, p. 21, prop. 14). Cela achève la démonstration de la proposition.

D’après IV, , n° 1, cor. 1 de la prop. 3, l’ensemble Ass(I) est alors le support de la famille $(a_p)$

a) Supposons le $A$-module $I$ injectif. Alors le $A/a^n$-module $I_n$ est injectif pour tout $n \geqslant 0$.

b) Supposons que l’anneau $A$ soit noethérien, et que pour tout $n \geqslant 0$ le $A/a^n$-module $I_n$ soit injectif. Alors la réunion des $I_n$ est un $A$-module injectif.

a) Le $A/a^n$-module $I_n$ est isomorphe à $\operatorname{Hom}_A(A/a^n, I)$, qui est injectif (A, X, p. 18, prop. 11).

b) Soient $J$ la réunion des $I_n$, $b$ un idéal de $A$ et $f : b \to J$ un $A$-homomorphisme. Il s’agit (A, X, p. 16, prop. 10) de prouver qu’il existe un élément $x$ de $J$ tel qu’on ait $f(b) = bx$ pour tout $b \in b$. Puisque $b$ est de type fini, il existe un entier $n$ tel qu’on ait $f(b) \subset I_n$, c’est-à-dire $f(a^n b) = 0$. D’après le cor. 2 de la prop. 1 de III, § 3, n° 1, il existe un entier $m \geqslant n$ tel que $a^m \cap b \subset a^n b$, donc $f(a^m \cap b) = 0$. Alors $f$ induit une application $A/a^m$-linéaire de $b/(a^m \cap b)$ dans $I_m$ ; comme le $A/a^m$-module $I_m$ est injectif, il existe un élément $x$ de $I_m$ tel qu’on ait $f(b) = bx$ pour tout $b \in b$, d’où b).

Soit $\alpha$ un idéal de $A$; nous conviendrons dans ce qui suit de poser $\alpha^n = A$ pour tout entier $n \leq 0$. Soit $E$ un $A$-module. Pour tout $n \in \mathbf{Z}$, notons $E_n$ le sous-module de $E$ formé des éléments annulés par $\alpha^n$; soit $\mathrm{gr}^\alpha(E)$ le $A$-module gradué de type $\mathbf{Z}$ tel que $\mathrm{gr}^\alpha(E)_m = E_{-m+1}/E_{-m}$ pour tout entier $m$. Le module $\mathrm{gr}^\alpha(E)_m$ est nul pour $m \geq 1$, et $\mathrm{gr}^\alpha(E)_0$ s’identifie à $E_1$. Notons $\mathrm{gr}(A)$ l’anneau gradué associé à $A$ pour la filtration $\alpha$-adique : on a $\mathrm{gr}(A)_n = \alpha^n/\alpha^{n+1}$ pour tout $n \in \mathbf{Z}$. Soient $n$ et $m$ des entiers. On déduit par passage aux quotients de l’application bilinéaire $(a, x) \mapsto ax$ de $\alpha^n \times E_{-m+1}$ dans $E_{-m-n+1}$ une application $A/\alpha$-bilinéaire

qui définit sur $\mathrm{gr}^\alpha(E)$ une structure de $\mathrm{gr}(A)$-module gradué. Pour tout $n \in \mathbf{Z}$, on déduit de l’application $A/\alpha$-bilinéaire $\alpha_{n,-n} : \mathrm{gr}(A)_n \times \mathrm{gr}^\alpha(E)_{-n} \longrightarrow E_1$ une application $A/\alpha$-linéaire $\beta_{E,n} : \mathrm{gr}^\alpha(E)_{-n} \longrightarrow \mathrm{Hom}_{A/\alpha}(\mathrm{gr}(A)_n, E_1)$; les applications $\beta_{E,n}$ sont les composantes d’un homomorphisme de $A/\alpha$-modules gradués, dit canonique

Pour $a \in \mathrm{gr}(A)$, $x \in \mathrm{gr}^\alpha(E)$, $\beta_E(x)(a)$ est par définition le composant dans $\mathrm{gr}^\alpha(E)_0 = E_1$ de l’élément $ax$ de $\mathrm{gr}^\alpha(E)$. Il en résulte que $\beta_E$ est $\mathrm{gr}(A)$-linéaire lorsqu’on munit $\mathrm{Hom}_{\mathrm{gr}_{A/\alpha}}(\mathrm{gr}(A), E_1)$ de la structure de $\mathrm{gr}(A)$-module définie par la formule $(bf)(a) = f(ab)$ pour $a, b$ dans $\mathrm{gr}(A)$ et $f$ dans $\mathrm{Hom}_{\mathrm{gr}_{A/\alpha}}(\mathrm{gr}(A), E_1)$.

Supposons la condition (i) satisfaite. Le $A/\alpha$-module $E_1$ est injectif (lemme 1, a)), et contient $M$; comme tout sous-$A/\alpha$-module de $E_1$ est un sous-$A$-module de $E$, $E_1$ est une enveloppe injective du $A/\alpha$-module $M$. D’après le lemme 1, la réunion des $E_n$ est un sous-$A$-module injectif de $E$ contenant $M$, donc égal à $E$. Puisque $E$ est injectif, on a pour tout $n \geq 0$ une suite exacte

comme $\mathrm{Hom}_A(A/\alpha^m, E)$ s’identifie à $E_m$ pour tout $m$ et que l’injection canonique de $\mathrm{Hom}_A(\alpha^n/\alpha^{n+1}, E_1)$ dans $\mathrm{Hom}_A(\alpha^n/\alpha^{n+1}, E)$ est bijective, on en déduit que l’homomorphisme canonique $\beta_E$ est bijectif, d’où (ii).

Supposons (ii) satisfaite. Soit $e : M \to I$ une enveloppe injective de $M$. Puisque $I$ est injectif, il existe une application $A$-linéaire $\varphi : E \to I$ prolongeant $e$. Mais $\varphi$ applique $E_n$ dans $I_n$ pour tout $n$, donc induit des homomorphismes $gr^{a}(\varphi) : \operatorname{gr}^{a}(E) \to \operatorname{gr}^{a}(I)$ et $\varphi_1 : E_1 \to I_1$ rendant commutatif le diagramme

Puisque $E_1$ et $I_1$ sont des enveloppes injectives du $A/\alpha$-module $M$, l’homomorphisme $\varphi_1$ est bijectif ; puisque $\beta_E$ et $\beta_I$ sont bijectifs, il en résulte que $\operatorname{gr}^{a}(\varphi)$ est bijectif. Cela implique, par récurrence sur $n$, que $\varphi$ induit une bijection de $E_n$ sur $I_n$ pour tout $n \geq 1$ ; donc $\varphi$ est bijectif, ce qui entraîne (i).

a) Il existe sur $M$ une unique structure de $\widehat{A}$-module étendant la structure de $A$-module donnée.

b) *Les sous-$\widehat{A}$-modules de $M$ sont ses sous-$A$-modules, et l’on a $\operatorname{Hom}_A(M, P) = \operatorname{Hom}_{\widehat{A}}(M, P)$ pour tout $\widehat{A}$-module $P$.

a) Identifions $\widehat{A}$ à la limite projective des anneaux $A/\alpha^n$, et munissons $M$ de la topologie discrète. Soient $a = (a_n)$ un élément de $\widehat{A}$, et $x$ un élément de $M$. Comme $x$ est annulé par une puissance de $\alpha$, la suite $(a_n x)$ est stationnaire ; notons $ax$ sa limite. L’application $(a, x) \mapsto ax$ définit sur $M$ une structure de $\widehat{A}$-module qui étend la structure de $A$-module donnée.

Inversement, supposons donnée une telle structure sur $M$ ; soient $a = (a_n)$ un élément de $\widehat{A}$, $x$ un élément de $M$ et $m$ un entier tel que $\alpha^m x = 0$. Pour tout entier $n$, $a - a_n$ appartient à $\alpha^n$, qui est égal à $\alpha^n \widehat{A}$ (III, § 2, n° 12, cor. 2 de la prop. 16) ; on a donc $ax = a_n x$ pour $n \geq m$, d’où l’assertion d’unicité.

b) Il résulte de ce qui précède qu’on a $Ax = \widehat{A}x$ pour tout $x \in M$ ; les sous-$\widehat{A}$-modules de $M$ sont donc ses sous-$A$-modules. Enfin, soit $u$ un homomorphisme $A$-linéaire de $M$ dans un $\widehat{A}$-module $P$. Soient $a = (a_n)$ un élément de $\widehat{A}$, $x$ un élément de $M$ et $m$ un entier tel que $\alpha^m x = 0$ ; on a $\alpha^m u(x) = 0$. Comme $a - a_m$ appartient à $\alpha^m \widehat{A}$, on a

de sorte que $u$ est $\widehat{A}$-linéaire.

a) Le $A$-module $I$ est réunion des $I_n$. L’injection $A / \mathfrak{p} \to I_1$ se prolonge en un isomorphisme de $\kappa(\mathfrak{p})$ sur $I_1$; identifions $\kappa(\mathfrak{p})$ à $I_1$ à l’aide de cet isomorphisme. Pour chaque entier $n \geqslant 0$, la structure de $A / \mathfrak{p}$-module de $I_{n+1}/I_n$ provient par restriction des scalaires d’une unique structure de $\kappa(\mathfrak{p})$-espace vectoriel ; l’homomorphisme canonique $\beta_{I,-n}: I_{n+1}/I_n \longrightarrow \mathrm{Hom}_{A/\mathfrak{p}}(\mathfrak{p}^n/\mathfrak{p}^{n+1}, \kappa(\mathfrak{p}))$ est un isomorphisme de $\kappa(\mathfrak{p})$-espaces vectoriels de dimension finie.

b) Il existe une unique structure de $\widehat{A_p}$-module sur $I$ induisant sa structure de $A$-module. L’homomorphisme canonique $\widehat{A_p} \longrightarrow \mathrm{End}_A(I)$ est bijectif.

D’après A, X, p. 20, exemple 1, le $A/\mathfrak{p}$-module $\kappa(\mathfrak{p})$ est une enveloppe injective de $A/\mathfrak{p}$. Il résulte donc de la prop. 2 que $I_1$ s’identifie à $\kappa(\mathfrak{p})$, que $I$ est réunion des $I_m$, et que pour chaque entier $n \geqslant 0$, $\beta_{I,-n}$ est un isomorphisme de $A/\mathfrak{p}$-modules. Pour tout élément non nul $a$ de $A/\mathfrak{p}$, l’homothétie de rapport $a$ est inversible dans $\mathrm{Hom}_{A/\mathfrak{p}}(\mathfrak{p}^n/\mathfrak{p}^{n+1}, \kappa(\mathfrak{p}))$, donc aussi dans $I_{n+1}/I_n$, ce qui achève de prouver a).

Soit $s \in A - \mathfrak{p}$. Comme l’homothétie $s_{A/\mathfrak{p}}$ est injective, la trace de $\mathrm{Ker}\, s_I$ sur $A/\mathfrak{p}$ est nulle, ce qui entraîne que l’homothétie $s_I$ est injective. Alors $s_I$ est un sous-module facteur direct de $I$ (A, X, p. 19, cor. 4), donc égal à $I$ puisque $I$ est indécomposable ($n^\circ 1$, prop. 1), de sorte que l’homothétie $s_I$ est bijective. Il existe donc une unique structure de $A_p$-module sur $I$ induisant sa structure de $A$-module ; elle s’étend de manière unique en une structure de $\widehat{A_p}$-module (lemme 2).

Pour chaque entier $n$, on déduit de l’homomorphisme d’anneaux canonique $A_p \longrightarrow \mathrm{End}_A(I)$ une application $A$-linéaire $\alpha_n : A_p/\mathfrak{p}^n A_p \longrightarrow \mathrm{Hom}_A(I_n, I)$. Considérons le diagramme commutatif à lignes exactes

où $\alpha'_{n+1}$ est l’homomorphisme induit par $\alpha_{n+1}$. Considérons l’application $\kappa(\mathfrak{p})$-bilinéaire canonique

(formule (1)). L’application linéaire $I_{n+1}/I_n \longrightarrow \mathrm{Hom}_{\kappa(\mathfrak{p})}(\mathfrak{p}^n A_p/\mathfrak{p}^{n+1} A_p, I_1)$ qui lui est associée à gauche s’identifie à $\beta_{I,-n}$, et celle qui lui est associée à droite est $\alpha'_{n+1}$. Comme $\beta_{I,-n}$ est bijective d’après a), il en est de même de $\alpha'_{n+1}$; on déduit alors du diagramme ci-dessus, par récurrence sur $n$, que $\alpha_n$ est un isomorphisme pour tout $n$. Comme $I$ est réunion des $I_n$, l’application canonique $\mathrm{End}_A(I) \to \varprojlim \mathrm{Hom}_A(I_n, I)$ est bijective ; l’homomorphisme d’anneaux $\widehat{A_p} \to \mathrm{End}_A(I)$, qui s’identifie à la limite projective des applications $\alpha_n$, est donc bijectif.

a) L’application canonique J → A_p ⊗_A J est bijective.

b) Notons E le A/p-module Hom_A(A/p, J). Il existe sur E une unique structure de κ(p)-espace vectoriel prolongeant sa structure de A/p-module ; le A-module J est isomorphe à I([E:κ(p)]).

En effet, J est isomorphe à un A-module I^{(c)}, où c est un cardinal convenable (n° 1, th. 1). Le corollaire résulte de la proposition lorsque J = I et le cas général s’en déduit aussitôt.

a) I est un $\widehat{A}$-module de Matlis ; b) le A-module I est artinien et cogénérateur (A, X, p. 18, déf. 3).

Puisque le A-module I est injectif, le A/m_A^n-module I_n est injectif pour chaque n (n° 2, lemme 1, a)). Comme I_n est l’ensemble des éléments de I annulés par m_A^n, le $\widehat{A}$-module I est injectif (lemme 1, b)). Il est indécomposable sur $\widehat{A}$ puisqu’il l’est sur A ; comme il contient le sous-$\widehat{A}$-module I_1 isomorphe à $\kappa_A$, on a $m_{\widehat{A}} \in \operatorname{Ass}_{\widehat{A}}(I)$, donc $\operatorname{Ass}_{\widehat{A}}(I) = \{ m_{\widehat{A}} \}$ (prop. 1), d’où a).

Prouvons maintenant que I est artinien. À tout sous-A-module M de I, associons l’idéal gradué $a_M$ de gr(A) défini de la façon suivante : un élément de gr(A)_n appartient à $(\mathfrak{a}_M)_n$ s’il est annulé par toutes les formes linéaires $\beta(x)$, où $x$ parcourt $((M \cap I_{n+1}) + I_n)/I_n$. Soient $M$ et $N$ des sous-modules de $I$ tels que $N \subset M$; on a $\mathfrak{a}_M \subset \mathfrak{a}_N$. Supposons $\mathfrak{a}_M = \mathfrak{a}_N$; on a $(M \cap I_{n+1}) + I_n = (N \cap I_{n+1}) + I_n$ pour tout $n$ puisque $\beta$ est un isomorphisme. Par récurrence sur $n$ on en déduit $M \cap I_{n+1} = N \cap I_{n+1}$ pour tout $n$, d’où finalement $M = N$.

Cela étant, soit $M_0 \supset M_1 \supset \ldots \supset M_n \supset \ldots$ une suite décroissante de sous-A-modules de $I$; la suite croissante $\mathfrak{a}_{M_0} \subset \mathfrak{a}_{M_1} \subset \ldots$ est stationnaire, puisque $\mathrm{gr}(A)$ est une $\kappa_A$-algèbre de type fini. La suite $(M_i)_{i \geq 0}$ est donc stationnaire, ce qui entraîne que le A-module $I$ est artinien. Enfin, le A-module $I$ est cogénérateur en vertu de A, X, p. 18, prop. 12.

Soit $M$ un A-module. Rappelons (A, VIII, § 4, n° 6) que le socle de $M$ est la somme des sous-modules simples de $M$, c’est-à-dire l’ensemble des éléments de $M$ annulés par $m_A$; c’est un $\kappa_A$-espace vectoriel, canoniquement isomorphe à $\mathrm{Hom}_A(\kappa_A, M)$.

(i) $M$ est artinien ; (ii) tout élément de $M$ est annulé par une puissance de $m_A$, et le socle de $M$ est de dimension finie sur $\kappa_A$ ; (iii) il existe un entier $n \geq 0$ et une application A-linéaire injective de $M$ dans $I^n$.

Lorsque ces conditions sont satisfaites, toute enveloppe injective de $M$ est isomorphe à $I^s$, où $s$ est la dimension sur $\kappa_A$ du socle de $M$.

(iii) $\Rightarrow$ (i) : c’est clair puisque le A-module $I$ est artinien (lemme 3).

(i) $\Rightarrow$ (ii) : supposons $M$ artinien. Soit $x \in M$; la suite décroissante des sous-modules $m_A^n x$ de $M$ est stationnaire. Soit $n$ un entier tel que $m_A^{n+1} x = m_A^n x$; le lemme de Nakayama entraîne $m_A^n x = 0$. Par ailleurs, le socle de $M$ est artinien en tant que A-module, donc aussi en tant que $\kappa_A$-espace vectoriel, ce qui signifie qu’il est de dimension finie.

(ii) $\Rightarrow$ (iii) : supposons la condition (ii) vérifiée; soit $e : M \to J$ une enveloppe injective de $M$. On a $\mathrm{Ass}(M) \subset \{m_A\}$, donc $\mathrm{Ass}(J) \subset \{m_A\}$ (n° 1, remarque 2), et $J$ est isomorphe à $I^{(c)}$ pour un cardinal $c$ (n° 1, th. 1). Soit $x$ un élément non nul de $J$ annulé par $m_A$; comme le A-module $Ax$ est simple et que son intersection avec $e(M)$ n’est pas réduite à 0, $x$ appartient à $e(M)$. Ainsi $e$ induit un isomorphisme du socle de $M$ sur celui de $J$; par suite le socle de $M$ est de dimension $c$, ce qui prouve (iii) ainsi que la dernière assertion.

Soit $M$ un $\widehat{A}$-module artinien; tout élément de $M$ est annulé par une puissance de $m_{\widehat{A}}$, donc par une puissance de $m_A$. D’après le lemme 2 du n° 2, les sous-A-modules de $M$ sont ses sous-$\widehat{A}$-modules, donc $M$ est artinien en tant que A-module.

Fixons maintenant un $A$-module de Matlis I. Pour tout $A$-module $M$, notons $D_A(M)$ le $\widehat{A}$-module

Le $\widehat{A}$-module $D_A(A)$ s’identifie canoniquement à $I$, le $\widehat{A}$-module $D_A(I)$ à $\widehat{A}$ ($n^\circ 2$, prop. 3), et le $\widehat{A}$-module $D_A(\kappa_A)$ à $I_1$ (loc. cit.).

Pour toute application $A$-linéaire $f : M \to N$, nous noterons

l’application $\widehat{A}$-linéaire $\operatorname{Hom}_A(f, 1_I)$. Puisque le $A$-module $I$ est injectif, la suite $(D_A(g), D_A(f))$ est exacte pour toute suite exacte $(f, g)$ d’applications $A$-linéaires.

Nous appliquerons ces définitions à l’anneau $\widehat{A}$ muni du module de Matlis I (lemme 3, a)) ; pour tout $\widehat{A}$-module $P$, $D_{\widehat{A}}(P)$ est donc le sous-$\widehat{A}$-module $\operatorname{Hom}_{\widehat{A}}(P, I)$ de $D_A(P)$. Il revient au même de dire que $P$ est artinien comme $A$-module ou comme $\widehat{A}$-module (lemme 5) ; si c’est le cas on a $D_{\widehat{A}}(P) = D_A(P)$ (loc. cit.).

Soit $M$ un $A$-module. Pour $m \in M$, l’application $f \mapsto f(m)$ de $D_A(M)$ dans $I$ est $\widehat{A}$-linéaire ; notons-la $\alpha_M(m)$. On définit ainsi un homomorphisme $A$-linéaire

On note $\widehat{\alpha}_M : \widehat{A} \otimes_A M \longrightarrow D_{\widehat{A}}(D_A(M))$ l’application $\widehat{A}$-linéaire déduite de $\alpha_M$.

a) Pour que $M$ soit artinien, il faut et il suffit que le $\widehat{A}$-module $D_A(M)$ soit de type fini. Lorsque c’est le cas, l’homomorphisme $\alpha_M$ est bijectif.

b) Pour que $M$ soit de type fini, il faut et il suffit que $D_A(M)$ soit artinien (comme $A$-module ou comme $\widehat{A}$-module). Dans ce cas l’homomorphisme $\widehat{\alpha}_M$ est un isomorphisme.

c) Pour que $M$ soit de longueur finie, il faut et il suffit que $D_A(M)$ soit de longueur finie (comme $A$-module ou comme $\widehat{A}$-module). Dans ce cas $\alpha_M$ est un isomorphisme de $M$ sur $D_A(D_A(M))$, et l’on a $\operatorname{long}_A(D_A(M)) = \operatorname{long}_A(M)$.

Prouvons d’abord que l’homomorphisme $\alpha_M$ est injectif pour tout $A$-module $M$. Soit $m$ un élément non nul de $M$ ; son annulateur est contenu dans $m_A$. Il existe donc un $A$-homomorphisme surjectif de $Am$ sur $\kappa_A$, et par suite un homomorphisme non nul de $Am$ dans $I$. Comme $I$ est injectif, celui-ci se prolonge en un homomorphisme $f : M \to I$ tel que $f(m) \neq 0$. Cela prouve l’injectivité de $\alpha_M$.

Supposons le $A$-module $M$ artinien. D’après le lemme 4, il existe un entier $r$ et une application $A$-linéaire injective $f : M \to I^r$. L’homomorphisme $D_A(f) : D_A(I^r) \to D_A(M)$ est alors surjectif ; comme $D_A(I^r)$ s’identifie à $\widehat{A}^r$, cela prouve que le $\widehat{A}$-module $D_A(M)$ est de type fini. De manière analogue, si $M$ est de type fini, il existe un entier $n$ et un homomorphisme surjectif $u : A^n \to M$ ; l’homomorphisme $D_A(u) : D_A(M) \to I^n$ est injectif, de sorte que $D_A(M)$ est artinien (comme $A$-module ou comme $\widehat{A}$-module).

Supposons maintenant que le $\widehat{A}$-module $D_A(M)$ soit artinien ; il en est de même du $\widehat{A}$-module $D_{\widehat{A}}(\widehat{A} \otimes_A M)$ qui lui est canoniquement isomorphe. D’après ce qui précède, le $\widehat{A}$-module $D_{\widehat{A}}(D_{\widehat{A}}(\widehat{A} \otimes_A M))$ est de type fini, et il en est de même de $\widehat{A} \otimes_A M$ qui est isomorphe à un sous-module de $D_{\widehat{A}}(D_{\widehat{A}}(\widehat{A} \otimes_A M))$. Par suite $M$ est un $A$-module de type fini (I, , n° 6, prop. 11 et III, § 3, n° 5, prop. 9). De même si $D_A(M)$ est un $\widehat{A}$-module de type fini, $D_{\widehat{A}}(D_A(M))$ est un $\widehat{A}$-module artinien d’après ce qui précède, donc un $A$-module artinien (lemme 5), et il en est de même de $M$. Enfin les modules de longueur finie sont les modules artiniens de type fini (A, VIII, § 1, n° 1, prop. 1), donc $D_A(M)$ est de longueur finie si et seulement si $M$ est de longueur finie

Supposons $M$ artinien. Il existe un entier $r$ et une application $A$-linéaire injective $f : M \to I^r$; puisque $I$ est artinien (lemme 3), le $A$-module $\operatorname{Coker}(f)$ l’est aussi, et on peut trouver un entier $s$ et une suite exacte de $A$-modules

On en déduit un diagramme commutatif à lignes exactes

Le $\widehat{A}$-module $D_{\widehat{A}}(D_A(I))$ s’identifie à $I$ et $\alpha_I$ à l’application identique ; par suite $\alpha_{I^r}$ et $\alpha_{I^s}$ sont bijectifs, et il en est de même de $\alpha_M$ (A, X, p. 7, cor. 3).

Si le $A$-module $M$ est de type fini, il existe des entiers $m$ et $n$ et une suite exacte de $A$-modules

on en déduit un diagramme commutatif à lignes exactes

Comme $\widehat{\alpha}_A$ est égal à $1_{\widehat{A}}$, il en résulte que $\widehat{\alpha}_M$ est un isomorphisme.

Il reste à prouver l’égalité $\operatorname{long}_A(M) = \operatorname{long}_A(D_A(M))$ lorsque $M$ est de longueur finie. On peut supposer $M \neq 0$; il existe alors une suite exacte

d’où l’on déduit une suite exacte

On a $\operatorname{long}_A(M) = \operatorname{long}_A(N) + 1$ et

on conclut par récurrence sur l’entier $\operatorname{long}_A(M)$.