a) $A$ est un anneau de Macaulay, et le $A$-module $\Omega$ est macaulayen.

b) On a $\mathrm{di}_A(\Omega) = \dim(\Omega) = \dim(A)$.

Supposons d’abord l’anneau $A$ local, et notons $d$ sa dimension. La prop. 6 du $\S$ 3, n° 3 implique $\mathrm{di}_A(\Omega) = d$, donc $\mathrm{prof}(A) = d$ d’après la prop. 9 du $\S$ 3, n° 6, de sorte que $A$ est un anneau de Macaulay. De plus, on a $\mathrm{prof}(\Omega) = d$ par définition de la profondeur ; comme on a $\mathrm{prof}(\Omega) \leq \dim(\Omega) \leq d$, on en déduit la proposition dans ce cas.

Dans le cas général, le $A_m$-module $\Omega_m$ est dualisant pour tout idéal maximal $m$ de $A$, donc $A_m$ est un anneau de Macaulay et $\Omega_m$ un $A_m$-module macaulayen d’après ce qui précède, ce qui implique a). De plus on a $\mathrm{di}_{A_m}(\Omega_m) = \dim(\Omega_m) = \dim(A_m)$ pour tout idéal maximal $m$, d’où b) par passage à la borne supérieure ($§ 3$, n° 2, prop. 3).

Considérons une chaîne saturée $p \subset p_1 \subset \ldots \subset p_r$ d’idéaux premiers de A telle que l’idéal $p_r$ soit maximal. Raisonnant par récurrence sur $r$, on peut supposer que le $A_{p_1}$-module $\Omega_{p_1}$ est dualisant. Remplaçant A par $A_{p_1}$ et $p$ par $pA_{p_1}$, on se ramène au cas où l’anneau A est local et où la chaîne $p \subset m_A$ est saturée.

Posons alors $d = \dim(A) = \mathrm{ht}(m_A)$. On a $\dim(A_p) = \mathrm{ht}(p) = d - 1$ puisque A est un anneau de Macaulay ($§ 2$, n° 2, cor. de la prop. 2). Pour tout entier $i$, le $A_p$-module $\mathrm{Ext}^i_{A_p}(\kappa(p), \Omega_p)$ est isomorphe à $\mathrm{Ext}^i_A(A/p, \Omega)_p$ ($§ 3$, n° 2, prop. 2) ; il suffit donc de démontrer que le $A/p$-module $\mathrm{Ext}^i_A(A/p, \Omega)$ est nul pour $i \neq d - 1$ et de rang un pour $i = d - 1$.

Soient $x$ un élément de $m_A - p$, et $\overline{x}$ sa classe dans $A/p$. Considérons la suite exacte de A-modules

Le A-module $A/(p + xA)$ est de longueur finie puisque son support est réduit à $m_A$; comme le A-module $\Omega$ est dualisant, on a $\mathrm{Ext}^i_A(A/(p + xA), \Omega) = 0$ pour $i \neq d$ ($§ 8$, n° 5, exemple 3). On déduit alors de la suite exacte des modules d’extensions associée à la suite ci-dessus et à $\Omega$ que l’homothétie de rapport $x$ dans le A-module $\mathrm{Ext}^i_A(A/p, \Omega)$ est surjective pour $i \neq d - 1$, ce qui implique que ce module est nul (lemme de Nakayama). En particulier $\mathrm{Ext}^d_A(A/p, \Omega)$ est nul, et l’on obtient une suite exacte

On a $\mathrm{long}_A(\mathrm{Ext}^i_A(A/(p + xA), \Omega)) = \mathrm{long}_A(A/(p + xA))$ (loc. cit.); la proposition résulte alors du lemme suivant, appliqué à l’anneau $B = A/p$ et au B-module $M = \mathrm{Ext}^{d-1}_A(A/p, \Omega)$ :

Soit en effet $r$ le rang de M ; il existe un sous-module L de M libre de rang $r$ tel que $M/L$ soit un module de torsion (VII, § 4, n° 1, cor. de la prop. 1), donc de longueur finie (VII, § 2, n° 5, lemme 1). L’annulateur de $M/L$ n’est pas réduit à 0, et contient donc un élément non nul $x$ de $m_B$. Considérons le diagramme commutatif

D’après le lemme du serpent (A, X, p. 4, prop. 2), on en déduit une suite exacte

d’où $\operatorname{long}(M/xM) = \operatorname{long}(L/xL)$. Comme $\operatorname{long}(M/xM) = \operatorname{long}(B/xB)$ par hypothèse et $\operatorname{long}(L/xL) = r \operatorname{long}(B/xB)$, on en déduit $r = 1$.

En effet un module dualisant sur un anneau local est non nul par définition.

La première assertion résulte de A, X, p. 108, cor. Soit $\mathfrak{p}$ un idéal premier du support de $\operatorname{Ext}_A^i(M, \Omega)$. On a $\operatorname{Ext}_A^i(M, \Omega)_\mathfrak{p} \neq 0$, donc $\operatorname{Ext}_{A_\mathfrak{p}}^i(M_\mathfrak{p}, \Omega_\mathfrak{p}) \neq 0$ (§ 3, n° 2, prop. 2), ce qui implique $\operatorname{di}_{A_\mathfrak{p}}(\Omega_\mathfrak{p}) \geqslant i$. Comme $\Omega_\mathfrak{p}$ est un $A_\mathfrak{p}$-module dualisant (prop. 2), on a $\operatorname{di}_{A_\mathfrak{p}}(\Omega_\mathfrak{p}) = \dim(A_\mathfrak{p})$ (prop. 1), d’où le corollaire.

b) Posons $c = \dim(A) - \dim_A(M)$. Si M est non nul, le A-module $\operatorname{Ext}_A^c(M, \Omega)$ n’est pas nul.

c) On a $\operatorname{Ext}_A^i(M, \Omega) = 0$ pour $i > \dim(A) - \operatorname{prof}_A(M)$.

Supposons M non nul et désignons par F son support. D’après la prop. 9 du § 1, n° 5, la conjonction des assertions a) et b) est équivalente à $\operatorname{prof}_F(\Omega) = c$. Or puisque $\Omega$ est macaulayen et que son support est égal à Spec(A) (prop. 1 et cor. 2 de la prop. 2), on a

(§ 2, n° 1, cor. de la prop. 1 et n° 2, cor. de la prop. 2).

Prouvons c) par récurrence sur la profondeur de M. Si $\operatorname{prof}_A(M) = 0$, on a bien $\operatorname{Ext}_A^i(M, \Omega) = 0$ pour $i > \dim(A)$, puisque $\operatorname{di}_A(\Omega) = \dim(A)$ (prop. 1). Supposons $\operatorname{prof}_A(M) > 0$ ; il existe alors un élément $x$ de $\mathfrak{m}_A$ tel que l’homothétie de rapport $x$ soit injective dans M. On a $\operatorname{prof}_A(M/xM) = \operatorname{prof}_A(M) - 1$ (§ 1, n° 4, prop. 7).

Considérons la suite exacte des modules d’extensions

associée à la suite exacte

Pour $i > \dim(A) - \operatorname{prof}_A(M)$, le $A$-module $\operatorname{Ext}_A^{i+1}(M/xM, \Omega)$ est nul par l’hypothèse de récurrence, donc l’homothétie de rapport $x$ est surjective dans $\operatorname{Ext}_A^i(M, \Omega)$, ce qui implique que ce $A$-module est nul (lemme de Nakayama). Cela prouve c).

La première assertion résulte de la prop. 3, a) et c). Soit $p \in \operatorname{Supp}(M)$; d’après la prop. 1 du § 2, n° 1, appliquée à $M$ et à $A$, on a

puisque le $A_p$-module $\Omega_p$ est dualisant (prop. 2), il résulte de la prop. 3, b) que le $A_p$-module $\operatorname{Ext}_A^c(M_p, \Omega_p)$ n’est pas nul. Par suite le support de $\operatorname{Ext}_A^c(M, \Omega)$ est égal à celui de $M$.

Prouvons enfin, par récurrence sur $\dim(M)$, que le $A$-module $\operatorname{Ext}_A^c(M, \Omega)$ est macaulayen. L’assertion est satisfaite lorsque $\dim(M) = 0$ puisque tout module de longueur finie est macaulayen. Supposons $\dim(M) > 0$ et choisissons un élément $x$ de $\mathfrak{m}_A$ tel que l’homothétie $x_M$ soit injective. Le $A$-module $M/xM$ est macaulayen ($§ 2$, n° 3, prop. 4), de dimension $\dim(M) - 1$. Compte tenu de ce qui précède, la suite exacte des modules d’extensions associée à la suite exacte $0 \to M \xrightarrow{x} M \longrightarrow M/xM \to 0$ se réduit à

la prop. 4 du § 2, n° 3 et l’hypothèse de récurrence entraînent alors que $\operatorname{Ext}_A^c(M, \Omega)$ est macaulayen, d’où le corollaire.

Raisonnant par récurrence sur la longueur de la suite $x$, on se ramène au cas où celle-ci est réduite à un élément $x$. Supposons que le $A$-module $\Omega$ soit dualisant. Pour tout idéal maximal $m$ de $A$ contenant $x$, on a $\dim(A_m/xA_m) = \dim(A_m) - 1$

(VIII, , n° 1, cor. 2), et par suite Hom_{A_m}(A_m/xA_m, \Omega_m) = 0 (n° 1, prop. 3, a)). Cela entraîne Hom_A(A/xA, \Omega) = 0, de sorte que l’homothétie x_\Omega est injective. On peut donc supposer pour prouver la proposition que l’homothétie x_\Omega est injective

Notons \overline{A} l’anneau A/xA ; soit m un idéal maximal de A contenant x, et soit \overline{m} son image dans \overline{A}. Le A-module A/m est annulé par x, et s’identifie à \overline{A}/\overline{m} ; on dispose donc pour tout entier i \geqslant 1 d’un isomorphisme Ext^i_A(A/m, \Omega) \longrightarrow \operatorname{Ext}^{i-1}_{\overline{A}}(\overline{A}/\overline{m}, \Omega/x\Omega) (§ 3, n° 4, prop. 7). On a

(VIII, § 3, n° 1, cor. 2, a)). Or les idéaux maximaux de \overline{A} sont les idéaux \overline{m}, où m est un idéal maximal de A contenant x ; si de plus x appartient au radical de A, tout idéal maximal de A contient x. La proposition en résulte.

Soit \Omega un A-module dualisant ; il est sans torsion d’après la prop. 4. Soit K le corps des fractions de A ; le K-espace vectoriel K \otimes_A \Omega est dualisant (n° 1, prop. 2), donc de dimension 1.

(i) le A-module \Omega est dualisant ; (ii) le A-module \Omega est macaulayen de dimension égale à \dim(A), et \Omega/J\Omega est un module injectif indécomposable sur l’anneau local artinien A/J ; (iii) la suite x est \Omega-régulière et \Omega/J\Omega est un module injectif indécomposable sur l’anneau local artinien A/J ; (iv) la suite x est \Omega-régulière, on a \operatorname{long}_A(\Omega/J\Omega) = \operatorname{long}_A(A/J) et le \kappa_A-espace vectoriel \operatorname{Hom}_A(\kappa_A, \Omega/J\Omega) est de dimension 1.

(i) \Rightarrow (ii) : si \Omega est dualisant, il est macaulayen et de dimension \dim(A) (n° 1, prop. 1). La suite x est A-régulière puisque A est un anneau de Macaulay ; d’après la prop. 4, le A/J-module \Omega/J\Omega est dualisant, donc est un A/J-module de Matlis (n° 1, exemple 1).

(ii) \Rightarrow (iii) : sous l’hypothèse (ii), on a \dim(\Omega) = \dim(A) et \dim(\Omega/J\Omega) = \dim(A/J) = 0, de sorte que la suite x est sécante pour \Omega, donc \Omega-régulière (§ 2, n° 3, th. 1).

(iii) \Rightarrow (i) : sous les hypothèses de (iii), le A/J-module \Omega/J\Omega est un A-module de Matlis, donc est dualisant (n° 1, exemple 1) ; d’après la prop. 4 le A-module \Omega est dualisant.

(iii) \Leftrightarrow (iv) : cela résulte de la remarque du § 8, n° 3.

Soient $n$ un idéal maximal de $B$, et $p$ son image réciproque dans $A$. Le $A_p$-module $B_n$ est plat, le $A_p$-module $\Omega_p$ est dualisant, $\Omega_{(B)} \otimes_B B_n$ s’identifie à $\Omega_p \otimes_{A_p} B_n$ et $\kappa_{A_p} \otimes_{A_p} B_n$, qui s’identifie à un anneau de fractions de $\kappa(p) \otimes_A B$, est un anneau de Gorenstein. Il suffit donc de démontrer la proposition lorsque $\rho$ est un homomorphisme local d’anneaux locaux, ce que nous supposerons désormais.

Traitons d’abord le cas où les anneaux $A$ et $B$ sont artiniens. Posons $C = B/\mathfrak{m}_A B$. Puisque $B$ est plat sur $A$, le $B$-module $\mathrm{Hom}_B(C, \Omega_{(B)})$ est isomorphe à $\mathrm{Hom}_A(\kappa_A, \Omega) \otimes_A B$ (I, § 2, n° 10, prop. 11), donc à $\mathrm{Hom}_A(\kappa_A, \Omega) \otimes_{\kappa_A} C$. On en déduit une suite d’isomorphismes

Le $\kappa_A$-espace vectoriel $\mathrm{Hom}_A(\kappa_A, \Omega)$ est de dimension 1 puisque $\Omega$ est dualisant, et il en est de même du $\kappa_C$-espace vectoriel $\mathrm{Hom}_C(\kappa_C, C)$ puisque $C$ est un anneau de Gorenstein ; par suite le $\kappa_B$-espace vectoriel $\mathrm{Hom}_B(\kappa_B, \Omega_{(B)})$ est de dimension 1.

Soit $M$ un $B$-module de longueur finie ; prouvons par récurrence sur $\mathrm{long}_B(M)$ qu’on a $\mathrm{long}_B(\mathrm{Hom}_B(M, \Omega_{(B)})) \leqslant \mathrm{long}_B(M)$. L’assertion est claire si $M = 0$, et elle résulte de ce qui précède si $M = \kappa_B$. Supposons $\mathrm{long}_B(M) \geqslant 2$. Il existe une suite exacte de $B$-modules

avec $\mathrm{long}_B(M') < \mathrm{long}_B(M)$. On en déduit une suite exacte et l’on conclut en appliquant l’hypothèse de récurrence à $M'$.

Soit $N$ le noyau de la surjection canonique de $\kappa_A \otimes_A B$ sur $\kappa_B$. Posons $m = \mathrm{long}_B(\kappa_A \otimes_A B)$; on a $\mathrm{long}_B(N) = m - 1$. Considérons la suite exacte de $B$-modules

Les $B$-modules $\mathrm{Hom}_B(\kappa_A \otimes_A B, \Omega_{(B)})$ et $\mathrm{Ext}_B^1(\kappa_A \otimes_A B, \Omega_{(B)})$ sont respectivement isomorphes à $\mathrm{Hom}_A(\kappa_A, \Omega) \otimes_A B$ et $\mathrm{Ext}_A^1(\kappa_A, \Omega) \otimes_A B$, c’est-à-dire à $\kappa_A \otimes_A B$ et à 0. Les longueurs des $B$-modules $\mathrm{Hom}_B(\kappa_B, \Omega_{(B)})$ et $\mathrm{Hom}_B(\kappa_A \otimes_A B, \Omega_{(B)})$ sont 1 et $m$, et celle de $\mathrm{Hom}_B(N, \Omega_{(B)})$) est $\leqslant m - 1$; on en déduit que le $B$-module $\mathrm{Ext}_B^1(\kappa_B, \Omega_{(B)})$ est nul. D’après la prop. 6 du § 3, n° 3, le $B$-module $\Omega_{(B)}$ est injectif ; par suite c’est un module dualisant (n° 1, exemple 1).

Passons au cas général. Posons $C = \kappa_A \otimes_A B$; c’est par hypothèse un anneau de Gorenstein, donc un anneau de Macaulay ($§ 3, n° 7$, prop. 10). D’après la prop. 1 du n° 1, $A$ est un anneau de Macaulay, et le $A$-module $\Omega$ est macaulayen. Par suite $B$ est un anneau de Macaulay, et le $B$-module $\Omega_{(B)}$ est macaulayen ($§ 2, n° 7$, cor. 1 de la prop. 9). Posons $r = \dim(A)$, $s = \dim(C)$. Il existe une suite $(x_1, \ldots, x_r)$ d’éléments de $\mathfrak{m}_A$ régulière pour les $A$-modules $A$ et $\Omega$, et une suite $(y_1, \ldots, y_s)$ d’éléments de $\mathfrak{m}_B$ régulière pour le $B$-module $C$; notons $x$ l’idéal de $A$ et $\mathfrak{g}$ l’idéal de $B$ qu’elles engendrent respectivement. La suite $(y_1, \ldots, y_s, \rho(x_1), \ldots, \rho(x_r))$ est régulière pour les $B$-modules $B$ et $\Omega_{(B)}$ ($§ 1, n° 6$, prop. 11), et le $A$-module $B/\mathfrak{g}$ est plat (loc. cit., prop. 10). Posons $A' = A/x$, $B' = B/(xB + \mathfrak{g})$ et notons $\rho' : A' \to B'$ l’homomorphisme déduit de $\rho$ par passage aux quotients. Les anneaux $A'$ et $B'$ sont artiniens, le $A'$-module $B'$ est plat, l’anneau $\kappa_{A'} \otimes_{A'} B'$, qui s’identifie à $C/\mathfrak{g}$, est un anneau de Gorenstein ($§ 3, n° 7$, exemple 2) et le $A'$-module $\Omega_{(A')}$ est dualisant (n° 2, prop. 4). D’après la première partie de la démonstration, le $B'$-module $\Omega_{(B')}$ est dualisant. Il résulte alors de loc. cit. que le $B$-module $\Omega_{(B)}$ est dualisant.

En effet, pour tout idéal premier $\mathfrak{p}$ de $A$, l’anneau $\kappa(\mathfrak{p}) \otimes_A A[X]$ s’identifie à $\kappa(\mathfrak{p})[X]$, qui est régulier, donc de Gorenstein.

On a $\dim(B) = \dim_A(B) \leq \dim(A)$ (VIII, § 2, n° 3, th. 1 c)); posons $c = \dim(A) - \dim(B)$. On a $\mathrm{Ext}_A^i(B, \Omega) = 0$ pour $i \neq c$ puisque le $A$-module $B$ est macaulayen (n° 1, cor. de la prop. 3). Prouvons que le B-module $\mathrm{Ext}_A^c(B, \Omega)$ est dualisant.

Supposons d’abord $\dim(B) = 0$. Le spectre $X$ de $B$ est fini et formé d’idéaux maximaux (IV, § 2, n° 5, prop. 9); l’application canonique $B \to \prod_{n \in X} B_n$ est un isomorphisme (loc. cit., cor. 1). Le B-module $\Omega' = \mathrm{Ext}_A^c(B, \Omega)$ est donc somme directe des modules $\mathrm{Ext}_A^c(B_n, \Omega)$; comme $\mathrm{Ext}_A^c(B_n, \Omega)$ est à support dans $\{n\}$, il s’identifie à $\Omega'_n$. On a $\dim(B_n) = 0$ pour tout $n$; pour prouver que le B-module $\Omega'$ est dualisant, il suffit donc de prouver qu’il en est ainsi du $B_n$-module $\mathrm{Ext}_A^c(B_n, \Omega)$ pour tout $n \in X$, ce qui nous ramène au cas où l’anneau $B$ est local. Dans ce cas, d’après l’exemple 6 du § 8, n° 5, le B-module $\mathrm{Ext}_A^c(B, \Omega)$ est isomorphe à $\mathrm{Hom}_A(B, I)$, où $I$ est un $A$-module de Matlis; c’est par conséquent un B-module de Matlis ($§ 8, n° 6$, cor. de la prop. 5), donc un B-module dualisant (n° 1, exemple 1).

Supposons maintenant $\dim(B) > 0$ et raisonnons par récurrence sur $\dim(B)$. On a $\mathrm{prof}_A(B) = \dim_A(B) = \dim(B)$, d’où $\mathrm{prof}_A(B) > 0$; d’autre part on a $\mathrm{prof}(A) = \dim(A) > 0$ (n° 1, prop. 1), et par suite $\mathrm{prof}_A(A \oplus B) > 0$. Il existe donc un élément $x$ de $\mathfrak{m}_A$ tel que les homothéties $x_A$ et $x_B$ soient injectives.

Considérons la suite exacte des modules d’extensions associée à la suite exacte $0 \to B \xrightarrow{x_B} B \longrightarrow B/xB \to 0$ et au A-module $\Omega$. Le A-module $B/xB$ est macaulayen ($§ 2$, n° 1, exemple 3), de dimension $\dim(B) - 1$ (VIII, $§ 3$, n° 2, prop. 3) ; on a donc $\mathrm{Ext}_A^i(B/xB, \Omega) = 0$ pour $i \neq c + 1$ (n° 1, cor. de la prop. 3). Comme on a $\mathrm{Ext}_A^i(B, \Omega) = 0$ pour $i \neq c$, on obtient une suite exacte de B-modules

Par l’hypothèse de récurrence, le $B/xB$-module $\mathrm{Ext}_A^{c+1}(B/xB, \Omega)$ est dualisant. Comme la A-algèbre B est finie, l’image de $m_A$ dans B est contenue dans le radical de B (V, $§ 2$, n° 1, prop. 1) ; d’après la prop. 4 du n° 2, le B-module $\mathrm{Ext}_A^c(B, \Omega)$ est dualisant.

Notons $\Omega'$ le B-module $\mathrm{Ext}_A(B, \Omega)$. Soit $n$ un idéal maximal de B ; son image réciproque dans A est un idéal maximal $m$ (V, $§ 2$, n° 1, prop. 1). La $A_m$-algèbre $B_m = A_m \otimes_A B$ est finie, et c’est un $A_m$-module macaulayen ; d’après la proposition, le $B_m$-module $\Omega'_m$, qui s’identifie à $\mathrm{Ext}_{A_m}(B_m, \Omega_m)$ ($§ 3$, n° 2, prop. 2) est dualisant. Comme $B_n$ est un anneau de fractions de $B_m$, le $B_n$-module $\Omega'_n$ est dualisant, d’où le corollaire.

Cela résulte du cor. 1 et du cor. de la prop. 5.

Soient en effet R un anneau régulier et A un anneau de Macaulay quotient de R. Le R-module A est macaulayen ($§ 2$, n° 5, exemple 5), et R possède un module dualisant (n° 1, exemple 2) ; il en est donc de même de A d’après le cor. 1. Par ailleurs on a déjà observé qu’un anneau noethérien local complet est présentable ($§ 4$, n° 4, prop. 6, c)).

Plus généralement, tout anneau de Macaulay quotient d’un anneau de Gorenstein possède un module dualisant. Inversement, on peut montrer qu’un anneau de Macaulay local qui possède un module dualisant est quotient d’un anneau local de Gorenstein (exerc. 1).

L’assertion concernant la surjectivité de $u$ résulte du lemme de Nakayama (II, § 3, n° 2, cor. 1 de la prop. 4), sans hypothèse sur $x_N$. Considérons le diagramme commutatif à lignes exactes

à l’aide du lemme du serpent (I, § 1, n° 4, prop. 2), on en déduit une suite exacte $\mathrm{Ker}\, u \xrightarrow{x} \mathrm{Ker}\, u \longrightarrow \mathrm{Ker}\, \overline{u}$. Si $\overline{u}$ est injective, l’homothétie de rapport $x$ est surjective dans $\mathrm{Ker}\, u$, ce qui implique $\mathrm{Ker}\, u = 0$ par le lemme de Nakayama.

a) On a $\mathrm{Ext}_A^i(\Omega, \Omega) = 0$ pour $i > 0$.

b) L’homomorphisme canonique $\gamma : A \to \mathrm{End}_A(\Omega)$ est bijectif.

c) Tout $A$-module dualisant est de la forme $\Omega \otimes_A L$ où $L$ est un $A$-module projectif de rang 1.

A) Traitons d’abord le cas où l’anneau $A$ est local. Dans ce cas la condition c) signifie simplement que deux modules dualisants sont isomorphes.

Soit $\Omega'$ un $A$-module dualisant. On a $\mathrm{prof}_A(\Omega') = \dim_A(\Omega') = \dim(A)$ (n° 1, prop. 1), donc $\mathrm{Ext}_A^i(\Omega', \Omega) = 0$ pour $i \neq 0$ (n° 1, prop. 3, c)), d’où a).

Prouvons b) et c) par récurrence sur l’entier $\dim(A)$ (égal à $\mathrm{prof}(A)$). S’il est nul, l’anneau $A$ est artinien, $\Omega'$ et $\Omega$ sont des $A$-modules de Matlis (n° 1, exemple 1) ; ils sont donc isomorphes ($\S$ 8, n° 1, prop. 1) et l’application canonique $A \to \mathrm{End}_A(\Omega)$ est bijective ($\S$ 8, n° 2, prop. 3, c)). Supposons $\dim(A) > 0$ et soit $x$ un élément simplifiable de $\mathfrak{m}_A$. L’homothétie $x_\Omega$ est injective (n° 2, prop. 4), et l’on a une suite exacte

Puisque $\mathrm{Ext}_A^1(\Omega', \Omega)$ est nul et que $\mathrm{Hom}_A(\Omega', \Omega/x\Omega)$ s’identifie à $\mathrm{Hom}_{A/xA}(\Omega'/x\Omega', \Omega/x\Omega)$, on en déduit une suite exacte

où $p$ est l’application canonique. D’après la prop. 4, les $A/xA$-modules $\Omega/x\Omega$ et $\Omega'/x\Omega'$ sont dualisants, donc isomorphes par l’hypothèse de récurrence. Soit $\overline{u}$ un isomorphisme de $\Omega'/x\Omega'$ sur $\Omega/x\Omega$. Compte tenu de la suite exacte (1), il existe un $A$-homomorphisme $u : \Omega' \to \Omega$ tel que $p(u) = \overline{u}$; d’après le lemme 2, $u$ est bijectif, ce qui prouve c). Par l’hypothèse de récurrence, l’homomorphisme canonique $A/xA \longrightarrow \mathrm{End}_{A/xA}(\Omega/x\Omega)$ est bijectif. Compte tenu de la suite exacte (1), cet homomorphisme s’identifie à l’homomorphisme $\overline{\gamma} : A/xA \longrightarrow \mathrm{End}_A(\Omega)/x\mathrm{End}_A(\Omega)$ induit par $\gamma$; il résulte alors du lemme 2 que $\gamma$ est bijectif, d’où b).

B) Passons au cas général. Pour tout idéal maximal $m$ de $A$ et tout entier $i > 0$, on a $\mathrm{Ext}^i_{A_m}(\Omega_m, \Omega_m) = 0$ d’après ce qui précède, donc $\mathrm{Ext}^i_A(\Omega, \Omega)_m = 0$ ($§ 3$, n° 2, prop. 2), ce qui implique $\mathrm{Ext}^i_A(\Omega, \Omega) = 0$ (II, $§ 3$, n° 3, cor. 2 du th. 1). De même, l’homomorphisme $\gamma_m : A_m \to \mathrm{End}_A(\Omega)_m$ est bijectif pour tout idéal maximal $m$ de $A$, donc $\gamma$ est bijectif (loc. cit., th. 1).

Prouvons enfin c). Soit $\Omega'$ un $A$-module dualisant. Désignons par $L$ le $A$-module $\mathrm{Hom}_A(\Omega', \Omega)$, et par $v : \Omega' \otimes_A L \to \Omega$ l’homomorphisme tel que $v(x \otimes f) = f(x)$ pour $x \in \Omega'$, $f \in L$. Soit $m$ un idéal maximal de $A$. Le $A_m$-module $L_m$ s’identifie à $\mathrm{Hom}_{A_m}(\Omega'_m, \Omega_m)$; d’après le cas déjà traité il est libre de rang un, et tout isomorphisme $h : \Omega'_m \to \Omega_m$ en est un générateur. Lorsqu’on identifie $L_m$ à $A_m$ à l’aide du générateur $h$, l’homomorphisme $v_m : \Omega'_m \otimes_{A_m} L_m \to \Omega_m$ s’identifie à $h$, donc est bijectif. Ceci ayant lieu pour tout idéal maximal $m$ de $A$, le $A$-module $L$ est projectif de rang un (II, $§ 5$, n° 3, th. 2), et l’homomorphisme $v$ est bijectif (II, $§ 3$, n° 3, th. 1).