a) $A$ là một vành Macaulay, và A-môđun $\Omega$ là Macaulay.

b) Ta có $\mathrm{di}_A(\Omega) = \dim(\Omega) = \dim(A)$.

Trước hết giả sử rằng vành $A$ là địa phương, và ký hiệu $d$ là chiều của nó. Mệnh đề 6 của § 3, No. 3 kéo theo $\mathrm{di}_A(\Omega) = d$, do đó $\mathrm{prof}(A) = d$ theo mệnh đề 9 của § 3, No. 6, nên $A$ là một vành Macaulay. Hơn nữa, ta có $\mathrm{prof}(\Omega) = d$ theo định nghĩa của chiều sâu; vì ta có $\mathrm{prof}(\Omega) \leq \dim(\Omega) \leq d$, nên suy ra mệnh đề trong trường hợp này.

Trong trường hợp tổng quát, A$_m$-môđun $\Omega_m$ là đối ngẫu hóa với mọi iđêan cực đại $m$ của $A$, do đó $A_m$ là một vành Macaulay và $\Omega_m$ là một A$_m$-môđun Macaulay theo điều vừa đi trước, điều này kéo theo a). Hơn nữa ta có $\mathrm{di}_{A_m}(\Omega_m) = \dim(\Omega_m) = \dim(A_m)$ với mọi iđêan cực đại $m$, do đó có b) bằng cách chuyển qua cận trên bé nhất (§ 3, No. 2, mệnh đề 3).

Xét một dãy bão hòa $p \subset p_1 \subset \ldots \subset p_r$ các iđêan nguyên tố của A sao cho iđêan $p_r$ là cực đại. Lập luận quy nạp theo $r$, ta có thể giả sử rằng A$_{p_1}$-môđun $\Omega_{p_1}$ là đối ngẫu hóa. Thay thế A bởi $A_{p_1}$ và $p$ bởi $pA_{p_1}$, ta được đưa về trường hợp trong đó vành A là địa phương và dãy $p \subset m_A$ là bão hòa.

Khi đó đặt $d = \dim(A) = \mathrm{ht}(m_A)$. Ta có $\dim(A_p) = \mathrm{ht}(p) = d - 1$ vì A là một vành Macaulay (§ 2, No. 2, hệ quả của mệnh đề 2). Với mọi số nguyên $i$, A$_p$-môđun $\mathrm{Ext}^i_{A_p}(\kappa(p), \Omega_p)$ đẳng cấu với $\mathrm{Ext}^i_A(A/p, \Omega)_p$ (§ 3, No. 2, mệnh đề 2); do đó chỉ cần chứng minh rằng A/p-môđun $\mathrm{Ext}^i_A(A/p, \Omega)$ triệt tiêu với $i \neq d - 1$ và có hạng một với $i = d - 1$.

Cho $x$ là một phần tử của $m_A - p$, và $\overline{x}$ là lớp của nó trong $A/p$. Xét dãy khớp các A-môđun

A-môđun $A/(p + xA)$ có độ dài hữu hạn vì giá của nó thu về $m_A$; vì A-môđun $\Omega$ là đối ngẫu hóa, ta có $\mathrm{Ext}^i_A(A/(p + xA), \Omega) = 0$ với $i \neq d$ ($§ 8$, No. 5, ví dụ 3). Khi đó từ dãy khớp các môđun mở rộng liên kết với dãy trên và với $\Omega$ suy ra rằng phép vị tự tỉ số $x$ trong A-môđun $\mathrm{Ext}^i_A(A/p, \Omega)$ là toàn ánh với $i \neq d - 1$, điều này kéo theo môđun này bằng không (bổ đề Nakayama). Đặc biệt $\mathrm{Ext}^d_A(A/p, \Omega)$ bằng không, và thu được một dãy khớp

Ta có $\mathrm{long}_A(\mathrm{Ext}^i_A(A/(p + xA), \Omega)) = \mathrm{long}_A(A/(p + xA))$ (loc. cit.); khi đó mệnh đề suy ra từ bổ đề sau đây, áp dụng cho vành $B = A/p$ và B-môđun $M = \mathrm{Ext}^{d-1}_A(A/p, \Omega)$:

Thật vậy, gọi $r$ là hạng của M; tồn tại một môđun con tự do L của M có hạng $r$ sao cho $M/L$ là một môđun xoắn (VII, § 4, No. 1, hệ quả của mệnh đề 1), do đó có độ dài hữu hạn (VII, § 2, No. 5, bổ đề 1). Linh hóa tử của $M/L$ không thu về 0, và vì vậy chứa một phần tử khác không $x$ của $m_B$. Xét biểu đồ giao hoán

Theo bổ đề con rắn (A, X, p. 4, mệnh đề 2), từ đó suy ra một dãy khớp

do đó $\operatorname{long}(M/xM) = \operatorname{long}(L/xL)$. Vì $\operatorname{long}(M/xM) = \operatorname{long}(B/xB)$ theo giả thiết và $\operatorname{long}(L/xL) = r \operatorname{long}(B/xB)$, suy ra $r = 1$.

Thật vậy một môđun đối ngẫu hóa trên một vành địa phương theo định nghĩa là khác không.

Mệnh đề thứ nhất suy ra từ A, X, p. 108, hệ quả. Cho $\mathfrak{p}$ là một iđêan nguyên tố của giá của $\operatorname{Ext}_A^i(M, \Omega)$. Ta có $\operatorname{Ext}_A^i(M, \Omega)_\mathfrak{p} \neq 0$, do đó $\operatorname{Ext}_{A_\mathfrak{p}}^i(M_\mathfrak{p}, \Omega_\mathfrak{p}) \neq 0$ (§ 3, No. 2, mệnh đề 2), điều này kéo theo $\operatorname{di}_{A_\mathfrak{p}}(\Omega_\mathfrak{p}) \geqslant i$. Vì $\Omega_\mathfrak{p}$ là một $A_\mathfrak{p}$-môđun đối ngẫu hóa (mệnh đề 2), ta có $\operatorname{di}_{A_\mathfrak{p}}(\Omega_\mathfrak{p}) = \dim(A_\mathfrak{p})$ (mệnh đề 1), do đó có hệ quả.

b) Đặt $c = \dim(A) - \dim_A(M)$. Nếu M khác không, A-môđun $\operatorname{Ext}_A^c(M, \Omega)$ là khác không.

c) Ta có $\operatorname{Ext}_A^i(M, \Omega) = 0$ với $i > \dim(A) - \operatorname{prof}_A(M)$.

Giả sử M khác không và ký hiệu F là giá của nó. Theo mệnh đề 9 của § 1, No. 5, phép hội của các mệnh đề a) và b) là tương đương với $\operatorname{prof}_F(\Omega) = c$. Nhưng vì $\Omega$ là Cohen-Macaulay và giá của nó bằng Spec(A) (mệnh đề 1 và hệ quả 2 của mệnh đề 2), ta có

(§ 2, No. 1, hệ quả của mệnh đề 1 và No. 2, hệ quả của mệnh đề 2).

Ta sẽ chứng minh c) bằng quy nạp theo độ sâu của M. Nếu $\operatorname{prof}_A(M) = 0$, quả thật ta có $\operatorname{Ext}_A^i(M, \Omega) = 0$ với $i > \dim(A)$, vì $\operatorname{di}_A(\Omega) = \dim(A)$ (mệnh đề 1). Giả sử $\operatorname{prof}_A(M) > 0$; khi đó tồn tại một phần tử $x$ của $\mathfrak{m}_A$ sao cho phép vị tự tỉ số $x$ là đơn ánh trong M. Ta có $\operatorname{prof}_A(M/xM) = \operatorname{prof}_A(M) - 1$ (§ 1, No. 4, mệnh đề 7).

Xét dãy khớp các môđun mở rộng

liên kết với dãy khớp

Với $i > \dim(A) - \operatorname{prof}_A(M)$, $A$-môđun $\operatorname{Ext}_A^{i+1}(M/xM, \Omega)$ là không theo giả thiết quy nạp; bởi vậy phép vị tự có tỉ số $x$ là toàn ánh trong $\operatorname{Ext}_A^i(M, \Omega)$, điều này suy ra $A$-môđun này là không (bổ đề Nakayama). Điều này chứng minh c).

Mệnh đề thứ nhất suy ra từ Mệnh đề 3, a) và c). Cho $p \in \operatorname{Supp}(M)$; theo Mệnh đề 1 của § 2, No. 1, áp dụng cho $M$ và cho $A$, ta có

vì $A_p$-môđun $\Omega_p$ là đối ngẫu hóa (Mệnh đề 2), suy ra từ Mệnh đề 3, b) rằng $A_p$-môđun $\operatorname{Ext}_A^c(M_p, \Omega_p)$ khác không. Vậy giá của $\operatorname{Ext}_A^c(M, \Omega)$ bằng giá của $M$.

Sau cùng, hãy chứng minh, bằng quy nạp theo $\dim(M)$, rằng $A$-môđun $\operatorname{Ext}_A^c(M, \Omega)$ là Macaulay. Mệnh đề đúng khi $\dim(M) = 0$, vì mọi môđun có độ dài hữu hạn đều là Macaulay. Giả sử $\dim(M) > 0$ và chọn một phần tử $x$ của $\mathfrak{m}_A$ sao cho phép vị tự $x_M$ là đơn ánh. $A$-môđun $M/xM$ là Macaulay ($§ 2$, No. 3, Mệnh đề 4), có chiều $\dim(M) - 1$. Theo điều nói trên, dãy khớp của các môđun mở rộng liên kết với dãy khớp $0 \to M \xrightarrow{x} M \longrightarrow M/xM \to 0$ rút gọn thành

Mệnh đề 4 của § 2, No. 3 và giả thiết quy nạp khi đó suy ra $\operatorname{Ext}_A^c(M, \Omega)$ là Macaulay, do đó có hệ quả.

Lập luận bằng quy nạp theo độ dài của dãy $x$, ta được đưa về trường hợp dãy sau chỉ gồm một phần tử $x$. Giả sử rằng A-môđun $\Omega$ là đối ngẫu hóa. Với mọi iđêan cực đại $m$ của $A$ chứa $x$, ta có $\dim(A_m/xA_m) = \dim(A_m) - 1$

Kí hiệu \overline{A} là vành A/xA; cho m là một iđêan cực đại của A chứa x, và \overline{m} là ảnh của nó trong \overline{A}. A-môđun A/m bị triệt tiêu bởi x, và được đồng nhất với \overline{A}/\overline{m} ; do đó với mọi số nguyên i \geqslant 1 có một đẳng cấu Ext^i_A(A/m, \Omega) \longrightarrow \operatorname{Ext}^{i-1}_{\overline{A}}(\overline{A}/\overline{m}, \Omega/x\Omega) (§ 3, n° 4, mệnh đề 7). Ta có

(VIII, § 3, n° 1, hệ quả 2, a)). Bây giờ các iđêan cực đại của \overline{A} là các iđêan \overline{m}, trong đó m là một iđêan cực đại của A chứa x; và hơn nữa nếu x thuộc căn của A, thì mọi iđêan cực đại của A đều chứa x. Mệnh đề được chứng minh.

Cho \Omega là một A-môđun đối ngẫu hóa; nó không xoắn theo mệnh đề 4. Kí hiệu K là trường các phân thức của A; không gian vectơ trên K K \otimes_A \Omega là đối ngẫu hóa (n° 1, mệnh đề 2), do đó có chiều 1.

(i) A-môđun \Omega là đối ngẫu hóa ; (ii) A-môđun \Omega là một môđun Macaulay có chiều bằng \dim(A), và \Omega/J\Omega là một môđun nội xạ không phân tích được trên vành Artin địa phương A/J ; (iii) dãy x là \Omega-chính quy và \Omega/J\Omega là một môđun nội xạ không phân tích được trên vành Artin địa phương A/J ; (iv) dãy x là \Omega-chính quy, ta có \operatorname{long}_A(\Omega/J\Omega) = \operatorname{long}_A(A/J) và không gian vectơ trên \kappa_A \operatorname{Hom}_A(\kappa_A, \Omega/J\Omega) có chiều 1.

(i) \Rightarrow (ii) : nếu \Omega là đối ngẫu hóa, thì nó là Macaulay và có chiều \dim(A) (n° 1, mệnh đề 1). Dãy x là A-chính quy vì A là một vành Macaulay; theo mệnh đề 4, A/J-môđun \Omega/J\Omega là đối ngẫu hóa, và do đó là một A/J-môđun Matlis (n° 1, ví dụ 1).

(ii) \Rightarrow (iii) : dưới giả thiết (ii), ta có \dim(\Omega) = \dim(A) và \dim(\Omega/J\Omega) = \dim(A/J) = 0, nên dãy x là cát tuyến đối với \Omega, do đó \Omega-chính quy (§ 2, n° 3, định lý 1).

(iii) \Rightarrow (i) : dưới các giả thiết của (iii), A/J-môđun \Omega/J\Omega là một A-môđun Matlis, và do đó là đối ngẫu hóa (n° 1, ví dụ 1) ; theo mệnh đề 4, A-môđun \Omega là đối ngẫu hóa.

(iii) \Leftrightarrow (iv) : điều này suy ra từ nhận xét ở § 8, n° 3.

Cho $n$ là một iđêan cực đại của $B$, và $p$ là ảnh ngược của nó trong $A$. $A_p$-môđun $B_n$ là phẳng, $A_p$-môđun $\Omega_p$ là đối ngẫu hóa, $\Omega_{(B)} \otimes_B B_n$ được đồng nhất với $\Omega_p \otimes_{A_p} B_n$ và $\kappa_{A_p} \otimes_{A_p} B_n$, được đồng nhất với một vành phân thức của $\kappa(p) \otimes_A B$, là một vành Gorenstein. Vì vậy đủ để chứng minh mệnh đề trong trường hợp $\rho$ là một đồng cấu địa phương của các vành địa phương, điều mà từ nay ta sẽ giả sử.

Trước hết hãy xét trường hợp các vành $A$ và $B$ là Artin. Đặt $C = B/\mathfrak{m}_A B$. Vì $B$ là phẳng trên $A$, $B$-môđun $\mathrm{Hom}_B(C, \Omega_{(B)})$ đẳng cấu với $\mathrm{Hom}_A(\kappa_A, \Omega) \otimes_A B$ (I, § 2, n° 10, mệnh đề 11), do đó với $\mathrm{Hom}_A(\kappa_A, \Omega) \otimes_{\kappa_A} C$. Suy ra một dãy các đẳng cấu

Không gian vectơ trên $\kappa_A$ $\mathrm{Hom}_A(\kappa_A, \Omega)$ có chiều 1 vì $\Omega$ là đối ngẫu hóa, và điều tương tự cũng đúng với không gian vectơ trên $\kappa_C$ $\mathrm{Hom}_C(\kappa_C, C)$ vì $C$ là một vành Gorenstein; do đó không gian vectơ trên $\kappa_B$ $\mathrm{Hom}_B(\kappa_B, \Omega_{(B)})$ có chiều 1.

Cho $M$ là một $B$-môđun có độ dài hữu hạn; ta hãy chứng minh bằng quy nạp theo $\mathrm{long}_B(M)$ rằng ta có $\mathrm{long}_B(\mathrm{Hom}_B(M, \Omega_{(B)})) \leqslant \mathrm{long}_B(M)$. Mệnh đề là hiển nhiên nếu $M = 0$, và điều đó suy ra từ điều đi trước nếu $M = \kappa_B$. Giả sử $\mathrm{long}_B(M) \geqslant 2$. Tồn tại một dãy khớp các $B$-môđun

với $\mathrm{long}_B(M') < \mathrm{long}_B(M)$. Từ đó suy ra một dãy khớp và ta kết luận bằng cách áp dụng giả thiết quy nạp cho $M'$.

Cho $N$ là hạt nhân của toàn cấu chính tắc từ $\kappa_A \otimes_A B$ lên $\kappa_B$. Đặt $m = \mathrm{long}_B(\kappa_A \otimes_A B)$; ta có $\mathrm{long}_B(N) = m - 1$. Xét dãy khớp các $B$-môđun

Các $B$-môđun $\mathrm{Hom}_B(\kappa_A \otimes_A B, \Omega_{(B)})$ và $\mathrm{Ext}_B^1(\kappa_A \otimes_A B, \Omega_{(B)})$ lần lượt đẳng cấu với $\mathrm{Hom}_A(\kappa_A, \Omega) \otimes_A B$ và $\mathrm{Ext}_A^1(\kappa_A, \Omega) \otimes_A B$, nghĩa là với $\kappa_A \otimes_A B$ và với 0. Độ dài của các $B$-môđun $\mathrm{Hom}_B(\kappa_B, \Omega_{(B)})$ và $\mathrm{Hom}_B(\kappa_A \otimes_A B, \Omega_{(B)})$ là 1 và $m$, và độ dài của $\mathrm{Hom}_B(N, \Omega_{(B)})$) là $\leqslant m - 1$; từ đó suy ra $B$-môđun $\mathrm{Ext}_B^1(\kappa_B, \Omega_{(B)})$ là không. Theo Mệnh đề 6 của § 3, No. 3, $B$-môđun $\Omega_{(B)}$ là nội xạ; do đó nó là một môđun đối ngẫu hóa (No. 1, Ví dụ 1).

Ta chuyển sang trường hợp tổng quát. Đặt $C = \kappa_A \otimes_A B$; theo giả thiết đây là một vành Gorenstein, do đó là một vành Macaulay ($§ 3, n° 7$, mệnh đề 10). Theo mệnh đề 1 của No. 1, $A$ là một vành Macaulay, và $A$-môđun $\Omega$ là Macaulay. Do đó $B$ là một vành Macaulay, và $B$-môđun $\Omega_{(B)}$ là Macaulay ($§ 2, n° 7$, hệ quả 1 của mệnh đề 9). Đặt $r = \dim(A)$, $s = \dim(C)$. Tồn tại một dãy $(x_1, \ldots, x_r)$ các phần tử của $\mathfrak{m}_A$ chính quy đối với các $A$-môđun $A$ và $\Omega$, và một dãy $(y_1, \ldots, y_s)$ các phần tử của $\mathfrak{m}_B$ chính quy đối với $B$-môđun $C$; gọi $x$ là iđêan của $A$ và $\mathfrak{g}$ là iđêan của $B$ lần lượt được sinh bởi chúng. Dãy $(y_1, \ldots, y_s, \rho(x_1), \ldots, \rho(x_r))$ là chính quy đối với các $B$-môđun $B$ và $\Omega_{(B)}$ ($§ 1, n° 6$, mệnh đề 11), và $A$-môđun $B/\mathfrak{g}$ là phẳng (loc. cit., mệnh đề 10). Đặt $A' = A/x$, $B' = B/(xB + \mathfrak{g})$ và gọi $\rho' : A' \to B'$ là đồng cấu suy ra từ $\rho$ bằng cách chuyển qua các thương. Các vành $A'$ và $B'$ là Artin, $A'$-môđun $B'$ là phẳng, vành $\kappa_{A'} \otimes_{A'} B'$, được đồng nhất với $C/\mathfrak{g}$, là một vành Gorenstein ($§ 3, n° 7$, ví dụ 2) và $A'$-môđun $\Omega_{(A')}$ là đối ngẫu hóa (No. 2, mệnh đề 4). Theo phần đầu của chứng minh, $B'$-môđun $\Omega_{(B')}$ là đối ngẫu hóa. Khi đó suy ra từ loc. cit. rằng $B$-môđun $\Omega_{(B)}$ là đối ngẫu hóa.

Thật vậy, với mọi iđêan nguyên tố $\mathfrak{p}$ của $A$, vành $\kappa(\mathfrak{p}) \otimes_A A[X]$ được đồng nhất với $\kappa(\mathfrak{p})[X]$, là vành chính quy, do đó Gorenstein.

Ta có $\dim(B) = \dim_A(B) \leq \dim(A)$ (VIII, § 2, No. 3, Định lý 1 c)); đặt $c = \dim(A) - \dim(B)$. Ta có $\mathrm{Ext}_A^i(B, \Omega) = 0$ với $i \neq c$ vì A-môđun $B$ là Macaulay (No. 1, Hệ quả của Mệnh đề 3). Hãy chứng minh rằng B-môđun $\mathrm{Ext}_A^c(B, \Omega)$ là đối ngẫu hóa.

Trước hết giả sử rằng $\dim(B) = 0$. Phổ $X$ của $B$ là hữu hạn và gồm các iđêan cực đại (IV, § 2, No. 5, Mệnh đề 9); ánh xạ chính tắc $B \to \prod_{n \in X} B_n$ là một đẳng cấu (loc. cit., Hệ quả 1). B-môđun $\Omega' = \mathrm{Ext}_A^c(B, \Omega)$ do đó là tổng trực tiếp của các môđun $\mathrm{Ext}_A^c(B_n, \Omega)$; vì $\mathrm{Ext}_A^c(B_n, \Omega)$ có giá trong $\{n\}$, nó được đồng nhất với $\Omega'_n$. Ta có $\dim(B_n) = 0$ với mọi $n$; do đó, để chứng minh rằng B-môđun $\Omega'$ là đối ngẫu hóa, chỉ cần chứng minh điều này cho B_n-môđun $\mathrm{Ext}_A^c(B_n, \Omega)$ với mọi $n \in X$, điều này đưa ta trở lại trường hợp vành $B$ là địa phương. Trong trường hợp này, theo Ví dụ 6 của § 8, No. 5, B-môđun $\mathrm{Ext}_A^c(B, \Omega)$ đẳng cấu với $\mathrm{Hom}_A(B, I)$, trong đó $I$ là một A-môđun Matlis; do đó nó là một B-môđun Matlis (§ 8, No. 6, Hệ quả của Mệnh đề 5), vậy nên là một B-môđun đối ngẫu hóa (No. 1, Ví dụ 1).

Bây giờ giả sử rằng $\dim(B) > 0$ và lập luận bằng quy nạp theo $\dim(B)$. Ta có $\mathrm{prof}_A(B) = \dim_A(B) = \dim(B)$, do đó $\mathrm{prof}_A(B) > 0$; mặt khác ta có $\mathrm{prof}(A) = \dim(A) > 0$ (No. 1, Mệnh đề 1), và do đó $\mathrm{prof}_A(A \oplus B) > 0$. Vì thế tồn tại một phần tử $x$ của $\mathfrak{m}_A$ sao cho các phép vị tự $x_A$ và $x_B$ là đơn ánh.

Xét dãy khớp các môđun mở rộng liên kết với dãy khớp $0 \to B \xrightarrow{x_B} B \longrightarrow B/xB \to 0$ và với $A$-môđun $\Omega$. $A$-môđun $B/xB$ là Macaulay ($§ 2$, No. 1, Ví dụ 3), có chiều $\dim(B) - 1$ (VIII, $§ 3$, No. 2, Mệnh đề 3) ; do đó ta có $\mathrm{Ext}_A^i(B/xB, \Omega) = 0$ với $i \neq c + 1$ (No. 1, Hệ quả của Mệnh đề 3). Vì ta có $\mathrm{Ext}_A^i(B, \Omega) = 0$ với $i \neq c$, nên ta thu được một dãy khớp các $B$-môđun

Theo giả thiết quy nạp, $B/xB$-môđun $\mathrm{Ext}_A^{c+1}(B/xB, \Omega)$ là đối ngẫu hóa. Vì đại số trên $A$ $B$ là hữu hạn, ảnh của $m_A$ trong $B$ được chứa trong căn của $B$ (V, $§ 2$, No. 1, Mệnh đề 1) ; theo Mệnh đề 4 của No. 2, $B$-môđun $\mathrm{Ext}_A^c(B, \Omega)$ là đối ngẫu hóa.

Ký hiệu $\Omega'$ là $B$-môđun $\mathrm{Ext}_A(B, \Omega)$. Cho $n$ là một iđêan cực đại của $B$; ảnh ngược của nó trong $A$ là một iđêan cực đại $m$ (V, $§ 2$, No. 1, mệnh đề 1). Đại số trên $A_m$ $B_m = A_m \otimes_A B$ là hữu hạn, và là một $A_m$-môđun Macaulay; theo mệnh đề, $B_m$-môđun $\Omega'_m$, đồng nhất với $\mathrm{Ext}_{A_m}(B_m, \Omega_m)$ ($§ 3$, No. 2, mệnh đề 2), là đối ngẫu hóa. Vì $B_n$ là một vành phân thức của $B_m$, nên $B_n$-môđun $\Omega'_n$ là đối ngẫu hóa, do đó có hệ quả.

Điều này suy ra từ hệ quả 1 và hệ quả của mệnh đề 5.

Thật vậy, cho $R$ là một vành chính quy và $A$ là một thương của $R$ mà là một vành Macaulay. $A$-môđun $A$ là một môđun Macaulay ($§ 2$, No. 5, ví dụ 5), và $R$ có một môđun đối ngẫu hóa (No. 1, ví dụ 2); do đó điều ấy cũng đúng với $A$ theo hệ quả 1. Hơn nữa, đã nhận thấy rằng một vành địa phương Noether đầy đủ là biểu diễn được ($§ 4$, No. 4, mệnh đề 6, c)).

Nói chung hơn, mọi thương vành Macaulay của một vành Gorenstein đều có một môđun đối ngẫu hóa. Ngược lại, có thể chứng minh rằng một vành địa phương Macaulay có một môđun đối ngẫu hóa là một thương của một vành địa phương Gorenstein (bài tập 1).

Mệnh đề liên quan đến tính toàn ánh của $u$ suy ra từ bổ đề Nakayama (II, § 3, No. 2, hệ quả 1 của mệnh đề 4), không cần giả thiết nào trên $x_N$. Xét biểu đồ giao hoán với các hàng khớp

nhờ bổ đề con rắn (I, § 1, No. 4, mệnh đề 2), ta suy ra từ đó một dãy khớp $\mathrm{Ker}\, u \xrightarrow{x} \mathrm{Ker}\, u \longrightarrow \mathrm{Ker}\, \overline{u}$. Nếu $\overline{u}$ là đơn ánh, thì phép vị tự với tỷ số $x$ là toàn ánh trong $\mathrm{Ker}\, u$, điều này kéo theo $\mathrm{Ker}\, u = 0$ bởi bổ đề Nakayama.

a) Ta có $\mathrm{Ext}_A^i(\Omega, \Omega) = 0$ với $i > 0$.

b) Đồng cấu chính tắc $\gamma : A \to \mathrm{End}_A(\Omega)$ là song ánh.

c) Mọi $A$-môđun đối ngẫu hóa đều có dạng $\Omega \otimes_A L$ trong đó $L$ là một $A$-môđun xạ ảnh hạng 1.

A) Trước hết ta xét trường hợp vành $A$ là địa phương. Trong trường hợp này điều kiện c) đơn giản chỉ có nghĩa là hai môđun đối ngẫu hóa là đẳng cấu.

Cho $\Omega'$ là một $A$-môđun đối ngẫu hóa. Ta có $\mathrm{prof}_A(\Omega') = \dim_A(\Omega') = \dim(A)$ (No. 1, mệnh đề 1), do đó $\mathrm{Ext}_A^i(\Omega', \Omega) = 0$ với $i \neq 0$ (No. 1, mệnh đề 3, c)), do đó suy ra a).

Ta chứng minh b) và c) bằng quy nạp theo số nguyên $\dim(A)$ (bằng $\mathrm{prof}(A)$). Nếu nó bằng không, thì vành $A$ là Artin, $\Omega'$ và $\Omega$ là các Matlis $A$-môđun (No. 1, Ví dụ 1); do đó chúng đẳng cấu ($\S$ 8, No. 1, Prop. 1) và ánh xạ chính tắc $A \to \mathrm{End}_A(\Omega)$ là song ánh ($\S$ 8, No. 2, Prop. 3, c)). Giả sử $\dim(A) > 0$ và cho $x$ là một phần tử giản ước được của $\mathfrak{m}_A$. Phép vị tự $x_\Omega$ là đơn ánh (No. 2, Prop. 4), và ta có một dãy khớp

Vì $\mathrm{Ext}_A^1(\Omega', \Omega)$ bằng không và $\mathrm{Hom}_A(\Omega', \Omega/x\Omega)$ được đồng nhất với $\mathrm{Hom}_{A/xA}(\Omega'/x\Omega', \Omega/x\Omega)$, ta suy ra một dãy khớp

trong đó $p$ là ánh xạ chính tắc. Theo Mệnh đề 4, các $A/xA$-môđun $\Omega/x\Omega$ và $\Omega'/x\Omega'$ là đối ngẫu hoá, nên đẳng cấu theo giả thiết quy nạp. Gọi $\overline{u}$ là một đẳng cấu từ $\Omega'/x\Omega'$ lên $\Omega/x\Omega$. Xét dãy khớp (1), tồn tại một đồng cấu $A$-môđun $u : \Omega' \to \Omega$ sao cho $p(u) = \overline{u}$; theo Bổ đề 2, $u$ là song ánh, điều này chứng minh c). Theo giả thiết quy nạp, đồng cấu chính tắc $A/xA \longrightarrow \mathrm{End}_{A/xA}(\Omega/x\Omega)$ là song ánh. Xét dãy khớp (1), đồng cấu này được đồng nhất với đồng cấu $\overline{\gamma} : A/xA \longrightarrow \mathrm{End}_A(\Omega)/x\mathrm{End}_A(\Omega)$ cảm sinh bởi $\gamma$; khi đó từ Bổ đề 2 suy ra $\gamma$ là song ánh, do đó b).

B) Ta chuyển sang trường hợp tổng quát. Với mọi iđêan cực đại $m$ của $A$ và mọi số nguyên $i > 0$, ta có $\mathrm{Ext}^i_{A_m}(\Omega_m, \Omega_m) = 0$ theo điều đã nói ở trên, nên $\mathrm{Ext}^i_A(\Omega, \Omega)_m = 0$ ($§ 3$, No. 2, Prop. 2), điều này kéo theo $\mathrm{Ext}^i_A(\Omega, \Omega) = 0$ (II, $§ 3$, No. 3, Hệ quả 2 của Định lý 1). Tương tự, đồng cấu $\gamma_m : A_m \to \mathrm{End}_A(\Omega)_m$ là song ánh với mọi iđêan cực đại $m$ của $A$, nên $\gamma$ là song ánh (loc. cit., Định lý 1).

Cuối cùng, ta chứng minh c). Gọi $\Omega'$ là một $A$-môđun đối ngẫu hoá. Kí hiệu $L$ là $A$-môđun $\mathrm{Hom}_A(\Omega', \Omega)$, và $v : \Omega' \otimes_A L \to \Omega$ là đồng cấu sao cho $v(x \otimes f) = f(x)$ với $x \in \Omega'$, $f \in L$. Gọi $m$ là một iđêan cực đại của $A$. $A_m$-môđun $L_m$ được đồng nhất với $\mathrm{Hom}_{A_m}(\Omega'_m, \Omega_m)$; theo trường hợp đã xét, nó tự do hạng một, và mọi đẳng cấu $h : \Omega'_m \to \Omega_m$ là một phần tử sinh của nó. Khi đồng nhất $L_m$ với $A_m$ nhờ phần tử sinh $h$, đồng cấu $v_m : \Omega'_m \otimes_{A_m} L_m \to \Omega_m$ được đồng nhất với $h$, nên là song ánh. Vì điều này đúng với mọi iđêan cực đại $m$ của $A$, $A$-môđun $L$ là xạ ảnh hạng một (II, $§ 5$, No. 3, Định lý 2), và đồng cấu $v$ là song ánh (II, $§ 3$, No. 3, Định lý 1).