a) $A$-môđun $H_A(M)$ là Artin, và bằng không trong bậc $> \dim(M)$.

b) Đặt $p = \operatorname{prof}_A(M)$. Ta có $H_A^i(M) = 0$ với $i < p$, và $H_A^p(M) \neq 0$ nếu $M$ khác không.

Hãy chứng minh a) bằng quy nạp theo $\dim(M)$. Trường hợp $\dim(M) \leq 0$ suy ra từ Ví dụ 2 ở trên. Giả sử $\dim(M) > 0$ và trước hết lấy $M$ có dạng $A/\mathfrak{p}$, trong đó $\mathfrak{p}$ là một iđêan nguyên tố của $A$ phân biệt với $\mathfrak{m}_A$. Gọi $x$ là một phần tử của $\mathfrak{m}_A - \mathfrak{p}$; ta có một dãy khớp $0 \to M \xrightarrow{xM} M \longrightarrow M/xM \to 0$, với $\dim(M/xM) = \dim(M) - 1$. Do đó ta suy ra một dãy khớp của đối đồng điều địa phương

Mọi phần tử của $H_A^i(M)$ đều bị triệt tiêu bởi một lũy thừa của $\mathfrak{m}_A$; để chứng minh rằng môđun này là Artin, do đó chỉ cần chứng minh rằng đế của $H_A^i(M)$ có số chiều hữu hạn trên $\kappa_A$ (§ 8, No. 3, Bổ đề 3). Theo giả thiết quy nạp, hạt nhân $N$ của phép vị tự tỉ số $x$ trong $H_A^i(M)$ là Artin; vì $x$ thuộc $\mathfrak{m}_A$, đế của $H_A^i(M)$ đồng nhất với đế của $N$, và do đó có số chiều hữu hạn. Nếu $i > \dim(M)$, ta có $H_A^{i-1}(M/xM) = 0$ theo giả thiết quy nạp, nên phép vị tự tỉ số $x$ là đơn ánh trong $H_A^i(M)$; vì mọi phần tử của $H_A^i(M)$ đều bị triệt tiêu bởi một lũy thừa của $x$, ta suy ra $H_A^i(M) = 0$, do đó được a) trong trường hợp đang xét.

Hãy chuyển sang trường hợp tổng quát. A-môđun $M$ thừa nhận một chuỗi hợp thành $(M_j)_{0 \leq j \leq n}$ sao cho mỗi thương $M_j/M_{j+1}$ đẳng cấu với $A/\mathfrak{p}_j$, trong đó $\mathfrak{p}_j$ là một iđêan nguyên tố của $A$ (IV, § 1, No. 4, Định lý 1). Hãy chứng minh bằng quy nạp theo $n$ rằng $M$ thỏa mãn a). Trường hợp $n = 0$ là tầm thường. Dãy khớp $0 \to M_1 \to M \to A/\mathfrak{p}_0 \to 0$ cho một dãy khớp của đối đồng điều địa phương

A-môđun $H_A^i(M_1)$ là Artin theo giả thiết quy nạp, và điều đó cũng đúng với $H_A^i(A/\mathfrak{p}_0)$ theo các trường hợp đã xét; do đó $H_A^i(M)$ là Artin. Nếu $i > \dim(M)$, các môđun $M_1$ và $A/\mathfrak{p}_0$ có chiều $< i$; vì vậy các môđun $H_A^i(M_1)$ và $H_A^i(A/\mathfrak{p}_0)$ bằng không theo giả thiết quy nạp và các trường hợp đã xét, điều này suy ra $H_A^i(M) = 0$.

Giả sử $M$ khác không, và hãy chứng minh b) bằng quy nạp theo số nguyên $p = \operatorname{prof}(M)$. Trường hợp $p = 0$ suy ra từ định nghĩa của độ sâu. Giả sử $p > 0$ và chọn một phần tử $x$ của $\mathfrak{m}_A$ sao cho phép vị tự $x_M$ là đơn ánh. Như trên ta thu được một dãy khớp đối đồng điều địa phương

Ta có $\operatorname{prof}(M/xM) = \operatorname{prof}(M) - 1$ (§ 1, No. 4, prop. 7), do đó $H_A^{i-1}(M/xM) = 0$ với $i < p$ theo giả thiết quy nạp, điều này kéo theo như trên rằng $H_A^i(M) = 0$. Đặc biệt $H_A^{p-1}(M)$ bằng không, nên đồng cấu $H_A^{p-1}(M/xM) \longrightarrow H_A^p(M)$ là đơn ánh; vì thế $H_A^p(M)$ khác không theo giả thiết quy nạp.

Có thể chứng minh rằng môđun $H_A^{\dim(M)}(M)$ khác không khi $M$ khác không (bài tập 4; xem No. 3, hệ quả của định lý 2).

Đồng cấu $\omega$ là giới hạn của hệ quy nạp các ánh xạ $(\omega_\alpha)_{\alpha \in \mathscr{D}_{cs}}$, trong đó

gán cho một phần tử $u$ của $\mathrm{Ext}_A^d(A/\alpha, A)$ ánh xạ $x \mapsto f_x \circ u$ (A, X, p. 114). Do đó chỉ cần chứng minh rằng mỗi ánh xạ $\omega_\alpha$ là song ánh.

Cho $\alpha$ là một iđêan của $\mathscr{D}_{cs}$, sinh bởi một dãy hoàn toàn cắt $x = (x_1, \ldots, x_d)$ của $A$. Phức Koszul $K^\bullet(x, A)$ cung cấp một phân giải xạ ảnh của $A/\alpha$; với mọi $A$-môđun $M$, A-môđun $H^d(\mathrm{Homgr}_A(K^\bullet(x, A), M))$ được đồng nhất một cách chính tắc với $M/\alpha M$ (A, X, p. 155). Từ đó suy ra một đẳng cấu (A, X, p. 100)

trong đó $f_x$ là đồng cấu suy ra từ $f_x$ bằng cách chuyển qua các thương. Suy ra rằng nếu với mọi $A$-môđun $M$ ta đồng nhất $\mathrm{Ext}_A^d(A/\alpha, M)$ với $M/\alpha M$ nhờ $\varphi_M$, thì đồng cấu $\omega_\alpha$ được đồng nhất với ánh xạ $A$-tuyến tính từ $A/\alpha$ vào $\mathrm{Hom}_A(\Omega, \Omega/\alpha \Omega)$ gửi 1 tới toàn cấu chính tắc, tức lại chính là ánh xạ chính tắc $A/\alpha \longrightarrow \mathrm{End}_{A/\alpha}(\Omega/\alpha \Omega)$. Nhưng vì $A/\alpha$-môđun $\Omega/\alpha \Omega$ là đối ngẫu hóa (§ 9, No. 2, mệnh đề 4), ánh xạ này là song ánh (§ 9, No. 4, mệnh đề 6), điều đó chứng minh mệnh đề.

Hãy đồng nhất song đối ngẫu Matlis $D(D(\Omega))$ với $\widehat{\Omega}$ bởi đẳng cấu $\widehat{\alpha}_\Omega$ (§ 8, No. 3, định lý 2, b)).

a) $A$-môđun $H_A^d(\Omega)$ là một môđun Matlis; với mọi $A$-môđun $P$, ký hiệu $D(P)$ là đối ngẫu Matlis $\mathrm{Hom}_A(P, H_A^d(\Omega))$.

b) Với mọi $A$-môđun sinh hữu hạn $M$ và mọi số nguyên $i$, đồng cấu chính tắc

c) Với mọi $A$-môđun $M$ và mọi số nguyên $i$, đồng cấu chính tắc

Điều này suy ra từ mệnh đề 6 của § 8, No. 7.

Theo Nhận xét 2 của No. 1, có thể giả sử rằng vành địa phương $A$ là đầy đủ. Trong trường hợp này $A$ có một môđun đối ngẫu hóa $\Omega$ ($§ 9$, No. 3, Hệ quả 3 của Mệnh đề 6); nếu $H_A^e(M)$ bằng không thì điều tương tự cũng đúng với đối ngẫu Matlis của nó $\mathrm{Ext}_A^{d-e}(M, \Omega)$, điều này mâu thuẫn với Mệnh đề 3, b) của $§ 9$, No. 1.