a) Các $A$-môđun $I(\mathfrak{p})$ là không phân tích được.

b) Cho $I$ là một $A$-môđun đơn ánh không phân tích được; tập hợp $\mathrm{Ass}(I)$ chỉ gồm một phần tử duy nhất.

c) Ánh xạ $\mathfrak{p} \mapsto \mathrm{cl}(I(\mathfrak{p}))$ là một song ánh từ $\mathrm{Spec}(A)$ lên $\mathscr{J}(A)$. Song ánh ngược gắn với một phần tử $I$ của $\mathscr{J}(A)$ phần tử duy nhất của $\mathrm{Ass}(I)$.

Cho $\mathfrak{p} \in \mathrm{Spec}(A)$; ta hãy chứng minh rằng môđun $I(\mathfrak{p})$ là không phân tích được. Theo A, X, p. 21, Hệ quả 2, chỉ cần chứng minh rằng nếu $a$ và $b$ là các iđêan của $A$ chứa $\mathfrak{p}$ và phân biệt với $\mathfrak{p}$, thì iđêan $a \cap b$ phân biệt với $\mathfrak{p}$; mà nếu $a$ là một phần tử của $a - \mathfrak{p}$ và $b$ là một phần tử của $b - \mathfrak{p}$, thì tích $ab$ thuộc $(a \cap b) - \mathfrak{p}$.

Cho $I$ là một $A$-môđun đơn ánh không phân tích được, và cho $\mathfrak{p}, \mathfrak{q}$ là các phần tử của $\mathrm{Ass}(I)$. Khi đó $I$ chứa một môđun con $M$ đẳng cấu với $A/\mathfrak{p}$ và một môđun con $N$ đẳng cấu với $A/\mathfrak{q}$. Ta có $M \cap N \neq 0$ (A, X, p. 21, Mệnh đề 14); với mọi phần tử khác không $x$ của $M \cap N$, ta có $\mathfrak{p} = \mathrm{Ann} x = \mathfrak{q}$. Vì $\mathrm{Ass}(I)$ không rỗng (IV, § 1, No. 1, Hệ quả 1 của Mệnh đề 2), nên nó chỉ gồm một phần tử duy nhất $\mathfrak{p}(I)$.

Như vậy ta đã xác định hai ánh xạ $\mathfrak{p} \mapsto \mathrm{cl}(I(\mathfrak{p}))$ từ $\mathrm{Spec}(A)$ vào $\mathscr{J}(A)$ và $I \mapsto \mathfrak{p}(I)$ từ $\mathscr{J}(A)$ vào $\mathrm{Spec}(A)$; hãy chứng minh rằng hai ánh xạ này là hai song ánh nghịch đảo của nhau. Cho $\mathfrak{p} \in \mathrm{Spec}(A)$; khi đó $\mathfrak{p}$ thuộc $\mathrm{Ass}(I(\mathfrak{p}))$, và vì thế là phần tử duy nhất của $\mathrm{Ass}(I(\mathfrak{p}))$. Cho $I$ là một $A$-môđun đơn ánh không phân tích được, và $\mathfrak{p}$ là phần tử duy nhất của $\mathrm{Ass}(I)$; khi đó $I$ là một bao đơn ánh của $A/\mathfrak{p}$ (A, X, p. 21, Mệnh đề 14). Điều này hoàn tất chứng minh của mệnh đề.

a) Giả sử rằng $A$-môđun $I$ là nội xạ. Khi đó $A/a^n$-môđun $I_n$ là nội xạ với mọi $n \geqslant 0$.

b) Giả sử rằng vành $A$ là Noether, và rằng với mọi $n \geqslant 0$ thì $A/a^n$-môđun $I_n$ là đơn ánh. Khi đó hợp của các $I_n$ là một A-môđun đơn ánh.

a) $A/a^n$-môđun $I_n$ đẳng cấu với $\operatorname{Hom}_A(A/a^n, I)$, môđun này là đơn ánh (A, X, p. 18, Mệnh đề 11).

b) Gọi $J$ là hợp của các $I_n$, $b$ là một iđêan của $A$ và $f : b \to J$ là một A-đồng cấu. Theo (A, X, p. 16, Mệnh đề 10), cần chứng minh rằng tồn tại một phần tử $x$ của $J$ sao cho ta có $f(b) = bx$ với mọi $b \in b$. Vì $b$ là kiểu hữu hạn, tồn tại một số nguyên $n$ sao cho ta có $f(b) \subset I_n$, nghĩa là $f(a^n b) = 0$. Theo Hệ quả 2 của Mệnh đề 1 của III, § 3, No. 1, tồn tại một số nguyên $m \geqslant n$ sao cho $a^m \cap b \subset a^n b$, do đó $f(a^m \cap b) = 0$. Khi đó $f$ cảm sinh một ánh xạ tuyến tính $A/a^m$ của $b/(a^m \cap b)$ vào $I_m$; vì $A/a^m$-môđun $I_m$ là đơn ánh, tồn tại một phần tử $x$ của $I_m$ sao cho ta có $f(b) = bx$ với mọi $b \in b$, do đó b).

Cho $\alpha$ là một iđêan của $A$; trong phần sau, ta quy ước đặt $\alpha^n = A$ với mọi số nguyên $n \leq 0$. Cho $E$ là một $A$-môđun. Với mỗi $n \in \mathbf{Z}$, ký hiệu $E_n$ là môđun con của $E$ gồm các phần tử bị triệt tiêu bởi $\alpha^n$; gọi $\mathrm{gr}^\alpha(E)$ là $A$-môđun phân bậc kiểu $\mathbf{Z}$ sao cho $\mathrm{gr}^\alpha(E)_m = E_{-m+1}/E_{-m}$ với mọi số nguyên $m$. Môđun $\mathrm{gr}^\alpha(E)_m$ bằng không với $m \geq 1$, và $\mathrm{gr}^\alpha(E)_0$ được đồng nhất với $E_1$. Ký hiệu $\mathrm{gr}(A)$ là vành phân bậc liên kết với $A$ đối với lọc $\alpha$-adic: ta có $\mathrm{gr}(A)_n = \alpha^n/\alpha^{n+1}$ với mọi $n \in \mathbf{Z}$. Cho $n$ và $m$ là các số nguyên. Chuyển qua các thương từ ánh xạ song tuyến tính $(a, x) \mapsto ax$ của $\alpha^n \times E_{-m+1}$ vào $E_{-m-n+1}$, ta suy ra được một ánh xạ $A/\alpha$-song tuyến tính

ánh xạ này xác định trên $\mathrm{gr}^\alpha(E)$ một cấu trúc $\mathrm{gr}(A)$-môđun phân bậc. Với mỗi $n \in \mathbf{Z}$, từ ánh xạ $A/\alpha$-song tuyến tính $\alpha_{n,-n} : \mathrm{gr}(A)_n \times \mathrm{gr}^\alpha(E)_{-n} \longrightarrow E_1$ ta suy ra được một ánh xạ $A/\alpha$-tuyến tính $\beta_{E,n} : \mathrm{gr}^\alpha(E)_{-n} \longrightarrow \mathrm{Hom}_{A/\alpha}(\mathrm{gr}(A)_n, E_1)$; các ánh xạ $\beta_{E,n}$ là các thành phần của một đồng cấu các $A/\alpha$-môđun phân bậc, gọi là chính tắc,

Với $a \in \mathrm{gr}(A)$, $x \in \mathrm{gr}^\alpha(E)$, theo định nghĩa $\beta_E(x)(a)$ là thành phần trong $\mathrm{gr}^\alpha(E)_0 = E_1$ của phần tử $ax$ của $\mathrm{gr}^\alpha(E)$. Suy ra rằng $\beta_E$ là $\mathrm{gr}(A)$-tuyến tính khi ta trang bị cho $\mathrm{Hom}_{\mathrm{gr}_{A/\alpha}}(\mathrm{gr}(A), E_1)$ cấu trúc $\mathrm{gr}(A)$-môđun được xác định bởi công thức $(bf)(a) = f(ab)$ với $a, b$ trong $\mathrm{gr}(A)$ và $f$ trong $\mathrm{Hom}_{\mathrm{gr}_{A/\alpha}}(\mathrm{gr}(A), E_1)$.

Giả sử điều kiện (i) được thỏa mãn. $E_1$ là một $A/\alpha$-môđun đơn ánh (Bổ đề 1, a)), và chứa $M$; vì mọi môđun con-$A/\alpha$ của $E_1$ đều là một môđun con-$A$ của $E$, nên $E_1$ là một bao đơn ánh của $M$ như $A/\alpha$-môđun. Theo Bổ đề 1, hợp của các $E_n$ là một môđun con-$A$ đơn ánh của $E$ chứa $M$, do đó bằng $E$. Vì $E$ là đơn ánh, với mọi $n \geq 0$ ta có một dãy khớp

vì $\mathrm{Hom}_A(A/\alpha^m, E)$ được đồng nhất với $E_m$ với mọi $m$ và đơn ánh chính tắc của $\mathrm{Hom}_A(\alpha^n/\alpha^{n+1}, E_1)$ vào $\mathrm{Hom}_A(\alpha^n/\alpha^{n+1}, E)$ là song ánh, suy ra đồng cấu chính tắc $\beta_E$ là song ánh, do đó có (ii).

Giả sử (ii) được thỏa mãn. Gọi $e : M \to I$ là một bao đơn ánh của $M$. Vì $I$ là đơn ánh, tồn tại một ánh xạ tuyến tính $A$-tuyến tính $\varphi : E \to I$ kéo dài $e$. Nhưng $\varphi$ ánh xạ $E_n$ vào $I_n$ với mọi $n$, do đó cảm sinh các đồng cấu gr^{a}(\varphi) : \operatorname{gr}^{a}(E) \to \operatorname{gr}^{a}(I) \text{ và } \varphi_1 : E_1 \to I_1 \text{ làm cho biểu đồ giao hoán}

Vì $E_1$ và $I_1$ là các bao đơn ánh của $A/\alpha$-môđun $M$, nên đồng cấu $\varphi_1$ là song ánh; vì $\beta_E$ và $\beta_I$ là song ánh, suy ra $\operatorname{gr}^{a}(\varphi)$ là song ánh. Điều này kéo theo, bằng quy nạp theo $n$, rằng $\varphi$ cảm sinh một song ánh từ $E_n$ lên $I_n$ với mọi $n \geq 1$; do đó $\varphi$ là song ánh, điều này kéo theo (i).

a) Tồn tại trên $M$ một cấu trúc $\widehat{A}$-môđun duy nhất, mở rộng cấu trúc $A$-môđun đã cho.

b) *Các môđun con-$\widehat{A}$ của $M$ là các môđun con-$A$ của nó, và ta có $\operatorname{Hom}_A(M, P) = \operatorname{Hom}_{\widehat{A}}(M, P)$ với mọi $\widehat{A}$-môđun $P$.

a) Ta đồng nhất $\widehat{A}$ với giới hạn xạ ảnh của các vành $A/\alpha^n$, và trang bị cho $M$ tôpô rời rạc. Cho $a = (a_n)$ là một phần tử của $\widehat{A}$, và $x$ là một phần tử của $M$. Vì $x$ bị triệt tiêu bởi một lũy thừa của $\alpha$, dãy $(a_n x)$ là dừng; gọi $ax$ là giới hạn của nó. Ánh xạ $(a, x) \mapsto ax$ xác định trên $M$ một cấu trúc $\widehat{A}$-môđun mở rộng cấu trúc $A$-môđun đã cho.

Ngược lại, giả sử đã cho một cấu trúc như vậy trên $M$; cho $a = (a_n)$ là một phần tử của $\widehat{A}$, $x$ là một phần tử của $M$ và $m$ là một số nguyên sao cho $\alpha^m x = 0$. Với mọi số nguyên $n$, $a - a_n$ thuộc $\alpha^n$, mà bằng $\alpha^n \widehat{A}$ (III, § 2, n° 12, cor. 2 of prop. 16); do đó ta có $ax = a_n x$ với $n \geq m$, do đó có mệnh đề về tính duy nhất.

b) Suy ra từ điều trước đó rằng ta có $Ax = \widehat{A}x$ với mọi $x \in M$; do đó các môđun con theo $\widehat{A}$ của $M$ chính là các môđun con theo $A$ của nó. Cuối cùng, cho $u$ là một đồng cấu $A$-tuyến tính từ $M$ vào một $\widehat{A}$-môđun $P$. Gọi $a = (a_n)$ là một phần tử của $\widehat{A}$, $x$ là một phần tử của $M$, và $m$ là một số nguyên sao cho $\alpha^m x = 0$; ta có $\alpha^m u(x) = 0$. Vì $a - a_m$ thuộc $\alpha^m \widehat{A}$, ta có

nên $u$ là $\widehat{A}$-tuyến tính.

a) $A$-môđun $I$ là hợp của các $I_n$. Đơn ánh $A / \mathfrak{p} \to I_1$ mở rộng thành một đẳng cấu từ $\kappa(\mathfrak{p})$ lên $I_1$; hãy đồng nhất $\kappa(\mathfrak{p})$ với $I_1$ qua đẳng cấu này. Với mỗi số nguyên $n \geqslant 0$, cấu trúc $A / \mathfrak{p}$-môđun của $I_{n+1}/I_n$ thu được bằng cách hạn chế vô hướng từ một cấu trúc không gian vectơ $\kappa(\mathfrak{p})$ duy nhất; đồng cấu chính tắc $\beta_{I,-n}: I_{n+1}/I_n \longrightarrow \mathrm{Hom}_{A/\mathfrak{p}}(\mathfrak{p}^n/\mathfrak{p}^{n+1}, \kappa(\mathfrak{p}))$ là một đẳng cấu của các không gian vectơ $\kappa(\mathfrak{p})$ hữu hạn chiều.

b) Tồn tại một cấu trúc $\widehat{A_p}$-môđun duy nhất trên $I$ cảm sinh cấu trúc $A$-môđun của nó. Đồng cấu chính tắc $\widehat{A_p} \longrightarrow \mathrm{End}_A(I)$ là song ánh.

Theo A, X, p. 20, Ví dụ 1, $A/\mathfrak{p}$-môđun $\kappa(\mathfrak{p})$ là một bao nội xạ của $A/\mathfrak{p}$. Do đó suy ra từ Mệnh đề 2 rằng $I_1$ được đồng nhất với $\kappa(\mathfrak{p})$, rằng $I$ là hợp của các $I_m$, và rằng với mỗi số nguyên $n \geqslant 0$, $\beta_{I,-n}$ là một đẳng cấu của các $A/\mathfrak{p}$-môđun. Với mọi phần tử khác không $a$ của $A/\mathfrak{p}$, phép vị tự tỉ số $a$ là khả nghịch trong $\mathrm{Hom}_{A/\mathfrak{p}}(\mathfrak{p}^n/\mathfrak{p}^{n+1}, \kappa(\mathfrak{p}))$, nên cũng khả nghịch trong $I_{n+1}/I_n$, điều này hoàn tất chứng minh của a).

Cho $s \in A - \mathfrak{p}$. Vì phép vị tự $s_{A/\mathfrak{p}}$ là đơn ánh, vết của $\mathrm{Ker}\, s_I$ trên $A/\mathfrak{p}$ bằng không, do đó suy ra phép vị tự $s_I$ là đơn ánh. Khi đó $s_I$ là một môđun con hạng tử trực tiếp của $I$ (A, X, p. 19, Hệ quả 4), nên bằng $I$ vì $I$ không phân tích được (No. 1, Mệnh đề 1), thành thử phép vị tự $s_I$ là song ánh. Vì vậy tồn tại duy nhất một cấu trúc $A_p$-môđun trên $I$ cảm sinh cấu trúc $A$-môđun của nó; cấu trúc này được mở rộng duy nhất thành một cấu trúc $\widehat{A_p}$-môđun (Bổ đề 2).

Với mỗi số nguyên $n$, từ đồng cấu vành chính tắc $A_p \longrightarrow \mathrm{End}_A(I)$ ta suy ra một ánh xạ $A$-tuyến tính $\alpha_n : A_p/\mathfrak{p}^n A_p \longrightarrow \mathrm{Hom}_A(I_n, I)$. Xét biểu đồ giao hoán có các hàng khớp

trong đó $\alpha'_{n+1}$ là đồng cấu cảm sinh bởi $\alpha_{n+1}$. Xét ánh xạ song tuyến tính chính tắc trên $\kappa(\mathfrak{p})$

(công thức (1)). Ánh xạ tuyến tính $I_{n+1}/I_n \longrightarrow \mathrm{Hom}_{\kappa(\mathfrak{p})}(\mathfrak{p}^n A_p/\mathfrak{p}^{n+1} A_p, I_1)$ liên kết với nó ở bên trái được đồng nhất với $\beta_{I,-n}$, và ánh xạ liên kết với nó ở bên phải là $\alpha'_{n+1}$. Vì $\beta_{I,-n}$ là song ánh theo a), điều tương tự cũng đúng với $\alpha'_{n+1}$; khi đó từ biểu đồ trên, bằng quy nạp theo $n$, suy ra $\alpha_n$ là một đẳng cấu với mọi $n$. Vì $I$ là hợp của các $I_n$, ánh xạ chính tắc $\mathrm{End}_A(I) \to \varprojlim \mathrm{Hom}_A(I_n, I)$ là song ánh; do đó đồng cấu vành $\widehat{A_p} \to \mathrm{End}_A(I)$, được đồng nhất với giới hạn xạ ảnh của các ánh xạ $\alpha_n$, là song ánh.

a) Ánh xạ chính tắc J → A_p ⊗_A J là song ánh.

b) Ký hiệu E là A/p-môđun Hom_A(A/p, J). Trên E tồn tại duy nhất một cấu trúc không gian vectơ trên κ(p) kéo dài cấu trúc A/p-môđun của nó; A-môđun J đẳng cấu với I([E:κ(p)]).

Thật vậy, J đẳng cấu với một A-môđun I^{(c)}, trong đó c là một lực lượng thích hợp (No. 1, th. 1). Hệ quả suy ra từ mệnh đề khi J = I, và trường hợp tổng quát được suy ra từ đó ngay lập tức.

a) I là một Matlis $\widehat{A}$-môđun; b) A-môđun I là Artin và là một đối sinh (A, X, p. 18, def. 3).

Vì A-môđun I là đơn ánh, nên A/m_A^n-môđun I_n là đơn ánh với mỗi n (No. 2, bổ đề 1, a)). Vì I_n là tập các phần tử của I bị triệt tiêu bởi m_A^n, nên $\widehat{A}$-môđun I là đơn ánh (Bổ đề 1, b)). Nó không phân tích được trên $\widehat{A}$ vì nó đã như vậy trên A; do nó chứa môđun con-$\widehat{A}$ I_1 đẳng cấu với $\kappa_A$, ta có $m_{\widehat{A}} \in \operatorname{Ass}_{\widehat{A}}(I)$, nên $\operatorname{Ass}_{\widehat{A}}(I) = \{ m_{\widehat{A}} \}$ (prop. 1), do đó suy ra a).

Bây giờ ta chứng minh rằng I là Artin. Với mỗi môđun con-A M của I, ta gắn cho nó iđêan phân bậc $a_M$ của gr(A) được định nghĩa như sau: một phần tử của gr(A)_n thuộc về $(\mathfrak{a}_M)_n$ nếu nó bị triệt tiêu bởi mọi dạng tuyến tính $\beta(x)$, trong đó $x$ chạy qua $((M \cap I_{n+1}) + I_n)/I_n$. Cho $M$ và $N$ là các môđun con của $I$ sao cho $N \subset M$; khi đó $\mathfrak{a}_M \subset \mathfrak{a}_N$. Giả sử $\mathfrak{a}_M = \mathfrak{a}_N$; ta có $(M \cap I_{n+1}) + I_n = (N \cap I_{n+1}) + I_n$ với mọi $n$ vì $\beta$ là một đẳng cấu. Bằng quy nạp theo $n$ ta suy ra từ đó rằng $M \cap I_{n+1} = N \cap I_{n+1}$ với mọi $n$, do đó cuối cùng $M = N$.

Như vậy, cho $M_0 \supset M_1 \supset \ldots \supset M_n \supset \ldots$ là một dãy giảm các môđun con-A của $I$; dãy tăng $\mathfrak{a}_{M_0} \subset \mathfrak{a}_{M_1} \subset \ldots$ là dừng, vì $\mathrm{gr}(A)$ là một $\kappa_A$-đại số sinh hữu hạn. Do đó dãy $(M_i)_{i \geq 0}$ là dừng, điều này kéo theo rằng A-môđun $I$ là Artin. Cuối cùng, A-môđun $I$ là một đối sinh theo A, X, p. 18, prop. 12.

Cho $M$ là một A-môđun. Nhắc lại (A, VIII, § 4, No. 6) rằng đế của $M$ là tổng của các môđun con đơn của $M$, tức là tập các phần tử của $M$ bị triệt tiêu bởi $m_A$; nó là một không gian vectơ trên $\kappa_A$, đẳng cấu chính tắc với $\mathrm{Hom}_A(\kappa_A, M)$.

(i) $M$ là Artin; (ii) mọi phần tử của $M$ đều bị triệt tiêu bởi một lũy thừa của $m_A$, và đế của $M$ có số chiều hữu hạn trên $\kappa_A$; (iii) tồn tại một số nguyên $n \geq 0$ và một ánh xạ A-tuyến tính đơn ánh từ $M$ vào $I^n$.

Khi các điều kiện này được thỏa mãn, mọi bao nội xạ của $M$ đều đẳng cấu với $I^s$, trong đó $s$ là số chiều trên $\kappa_A$ của đế của $M$.

(iii) $\Rightarrow$ (i): điều này hiển nhiên vì A-môđun $I$ là Artin (Bổ đề 3).

(i) $\Rightarrow$ (ii): giả sử rằng $M$ là Artin. Lấy $x \in M$; dãy giảm các môđun con $m_A^n x$ của $M$ là dừng. Gọi $n$ là một số nguyên sao cho $m_A^{n+1} x = m_A^n x$; bổ đề Nakayama suy ra rằng $m_A^n x = 0$. Mặt khác, đế của $M$ là Artin như một A-môđun, do đó cũng là Artin như một $\kappa_A$-không gian vectơ, nghĩa là nó có số chiều hữu hạn.

(ii) $\Rightarrow$ (iii): giả sử điều kiện (ii) được thỏa mãn; gọi $e : M \to J$ là một bao nội xạ của $M$. Ta có $\mathrm{Ass}(M) \subset \{m_A\}$, do đó $\mathrm{Ass}(J) \subset \{m_A\}$ (No. 1, Nhận xét 2), và $J$ đẳng cấu với $I^{(c)}$ với một lực lượng $c$ (No. 1, Định lý 1). Gọi $x$ là một phần tử khác không của $J$ bị triệt tiêu bởi $m_A$; vì A-môđun $Ax$ là đơn và giao của nó với $e(M)$ không phải chỉ là 0, nên $x$ thuộc $e(M)$. Vậy $e$ gây ra một đẳng cấu từ đế của $M$ lên đế của $J$; do đó đế của $M$ có số chiều bằng $c$, điều này chứng minh (iii) cũng như khẳng định cuối cùng.

Cho $M$ là một $\widehat{A}$-môđun Artin; mọi phần tử của $M$ đều bị triệt tiêu bởi một lũy thừa của $m_{\widehat{A}}$, nên cũng bị triệt tiêu bởi một lũy thừa của $m_A$. Theo Bổ đề 2 của No. 2, các môđun con-A của $M$ chính là các môđun con-$\widehat{A}$ của nó, do đó $M$ là Artin như một A-môđun.

Bây giờ ta cố định một Matlis $A$-môđun I. Với mọi $A$-môđun $M$, ta ký hiệu bởi $D_A(M)$ là $\widehat{A}$-môđun

$\widehat{A}$-môđun $D_A(A)$ được đồng nhất một cách chính tắc với $I$, $\widehat{A}$-môđun $D_A(I)$ với $\widehat{A}$ ($n^\circ 2$, mệnh đề 3), và $\widehat{A}$-môđun $D_A(\kappa_A)$ với $I_1$ (loc. cit.).

Với mọi ánh xạ tuyến tính $A$ $f : M \to N$, ta sẽ ký hiệu bởi

ánh xạ tuyến tính $\widehat{A}$ $\operatorname{Hom}_A(f, 1_I)$. Vì $A$-môđun $I$ là đơn ánh, dãy $(D_A(g), D_A(f))$ là khớp với mọi dãy khớp $(f, g)$ các ánh xạ tuyến tính $A$.

Ta sẽ áp dụng các định nghĩa này cho vành $\widehat{A}$ được trang bị môđun Matlis I (bổ đề 3, a)) ; với mọi $\widehat{A}$-môđun $P$, $D_{\widehat{A}}(P)$ do đó là môđun con $\widehat{A}$ $\operatorname{Hom}_{\widehat{A}}(P, I)$ của $D_A(P)$. Nói rằng $P$ là Artin như một $A$-môđun hay như một $\widehat{A}$-môđun là như nhau (bổ đề 5) ; nếu đúng như vậy, ta có $D_{\widehat{A}}(P) = D_A(P)$ (loc. cit.).

Cho $M$ là một $A$-môđun. Với $m \in M$, ánh xạ $f \mapsto f(m)$ từ $D_A(M)$ vào $I$ là $\widehat{A}$-tuyến tính ; ta ký hiệu nó bởi $\alpha_M(m)$. Như vậy ta xác định được một đồng cấu $A$-tuyến tính

Ta ký hiệu bởi $\widehat{\alpha}_M : \widehat{A} \otimes_A M \longrightarrow D_{\widehat{A}}(D_A(M))$ ánh xạ tuyến tính $\widehat{A}$ suy ra từ $\alpha_M$.

a) Để $M$ là Artin, điều kiện cần và đủ là $\widehat{A}$-môđun $D_A(M)$ là hữu hạn kiểu. Khi đó, đồng cấu $\alpha_M$ là song ánh.

b) Để $M$ là kiểu hữu hạn, điều kiện cần và đủ là $D_A(M)$ là Artin (như một $A$-môđun hoặc như một $\widehat{A}$-môđun). Trong trường hợp này đồng cấu $\widehat{\alpha}_M$ là một đẳng cấu.

c) Để $M$ có độ dài hữu hạn, điều kiện cần và đủ là $D_A(M)$ có độ dài hữu hạn (như một $A$-môđun hoặc như một $\widehat{A}$-môđun). Trong trường hợp này $\alpha_M$ là một đẳng cấu từ $M$ lên $D_A(D_A(M))$, và ta có $\operatorname{long}_A(D_A(M)) = \operatorname{long}_A(M)$.

Trước hết ta sẽ chứng minh rằng đồng cấu $\alpha_M$ là đơn ánh với mọi $A$-môđun $M$. Gọi $m$ là một phần tử khác không của $M$; linh hóa tử của nó được chứa trong $m_A$. Do đó tồn tại một $A$-đồng cấu toàn ánh của $Am$ lên $\kappa_A$, và vì thế một đồng cấu khác không của $Am$ vào $I$. Vì $I$ là nội xạ, đồng cấu này kéo dài thành một đồng cấu $f : M \to I$ sao cho $f(m) \neq 0$. Điều này chứng minh tính đơn ánh của $\alpha_M$.

Giả sử $A$-môđun $M$ là Artin. Theo bổ đề 4, tồn tại một số nguyên $r$ và một ánh xạ tuyến tính $A$-đơn ánh $f : M \to I^r$. Khi đó đồng cấu $D_A(f) : D_A(I^r) \to D_A(M)$ là toàn ánh; vì $D_A(I^r)$ được đồng nhất với $\widehat{A}^r$, điều này chứng minh rằng $\widehat{A}$-môđun $D_A(M)$ là kiểu hữu hạn. Tương tự, nếu $M$ là kiểu hữu hạn, thì tồn tại một số nguyên $n$ và một đồng cấu toàn ánh $u : A^n \to M$; đồng cấu $D_A(u) : D_A(M) \to I^n$ là đơn ánh, do đó $D_A(M)$ là Artin (như một $A$-môđun hoặc như một $\widehat{A}$-môđun).

Giả sử $M$ là Artin. Tồn tại một số nguyên $r$ và một ánh xạ tuyến tính $A$-đơn ánh $f : M \to I^r$; vì $I$ là Artin (bổ đề 3), nên $A$-môđun $\operatorname{Coker}(f)$ cũng vậy, và ta có thể tìm được một số nguyên $s$ và một dãy khớp các $A$-môđun

Từ đó suy ra một biểu đồ giao hoán với các hàng khớp

$\widehat{A}$-môđun $D_{\widehat{A}}(D_A(I))$ được đồng nhất với $I$ và $\alpha_I$ với ánh xạ đồng nhất; do đó $\alpha_{I^r}$ và $\alpha_{I^s}$ là song ánh, và tương tự $\alpha_M$ cũng vậy (A, X, p. 7, Hệ quả 3).

Nếu A-môđun $M$ sinh hữu hạn, tồn tại các số nguyên $m$ và $n$ và một dãy khớp các A-môđun

từ đó suy ra một biểu đồ giao hoán với các hàng khớp

Vì $\widehat{\alpha}_A$ bằng $1_{\widehat{A}}$, suy ra $\widehat{\alpha}_M$ là một đẳng cấu.

Còn phải chứng minh đẳng thức $\operatorname{long}_A(M) = \operatorname{long}_A(D_A(M))$ khi $M$ có độ dài hữu hạn. Ta có thể giả sử $M \neq 0$; khi đó tồn tại một dãy khớp

do đó suy ra một dãy khớp

Ta có $\operatorname{long}_A(M) = \operatorname{long}_A(N) + 1$ và

kết luận bằng quy nạp theo số nguyên $\operatorname{long}_A(M)$.