Algèbres alternatives. Octonions

Pour établir l’implication $b) \Rightarrow a)$, nous prouverons les 4 lemmes suivants.

Disons qu’une partie $\mathbf{H}$ de $\mathbf{F}$ est fortement associative si $a(u, v, w) = 0$ lorsque deux au moins des éléments $u, v, w$ appartiennent à $\mathbf{H}$.

En effet, on a $a(u, v, w) = 0$ chaque fois que deux des trois éléments $u, v, w$ sont égaux à $x$, et il suffit d’appliquer le lemme 3.

En effet, soit $Z$ l’ensemble des $z \in E$ tels que $a(u, v, z) = 0$ quels que soient $u \in X$ et $v \in Y$; c’est évidemment un sous-A-module contenant $X$ et $Y$ puisque $X$ et $Y$ sont fortement associatives; en vertu du lemme 2, il suffira de voir que pour $u \in X$ et $v \in Y$, on a $uZ \subset Z, vZ \subset Z, Zu \subset Z$ et $Zv \subset Z$. Or, pour $u, u'$ dans $X, v \in Y$ et $z \in Z$, on a d’après (2) (III, p. 173)

en vertu du fait que $X$ est fortement associative et de la définition de $Z$. Mais comme $X$ est fortement associative, $a(u', u, zv) = 0$ et puisque $u'u \in X$, $a(u'u, z, v) = 0$ par définition de $Z$. On a donc bien $a(u', uz, v) = 0$ ce qui montre que $uZ \subset Z$. En appliquant maintenant (2) avec $(p, q, r, s) = (v, z, u, u')$, on obtient de même $Zu \subset Z$. Echangeant les rôles de $X$ et $Y$ (en tenant compte de ce que $a$ est alternée), on obtient $vZ \subset Z$ et $Zv \subset Z$; d’où le lemme.

Il suffit maintenant, pour achever de montrer que b) implique a) dans la prop. 1, de prendre $X = \{x\}$ et $Y = \{y\}$, en utilisant le lemme 4.

(ii) Si $F$ est alternative, on a $N(xy) = N(x)N(y)$ quels que soient $x, y$ dans $F$.

(iii) Supposons F alternative. Pour qu’un élément x ∈ F soit inversible il faut et il suffit que N(x) soit inversible dans Ae; l’inverse de x est alors unique et égal à N(x)^{-1}\bar{x}; en le notant x^{-1}, on a

pour tout y ∈ F.

La condition x^2y = x(xy) est évidemment nécessaire pour que F soit alternative (III, p. 173, prop. 1). Inversement, si elle est vérifiée pour tout couple d’éléments de F, en l’appliquant à \bar{x} et \bar{y}, elle donne \bar{x}^2\bar{y} = \bar{x}(\bar{x}\bar{y}); appliquant à cette relation la conjugaison s, il vient yx^2 = (yx)x, de sorte que les conditions c) de la prop. 1 de III, p. 173 sont satisfaites.

On a évidemment a(e, x, y) = 0 quels que soient x, y dans F. Si F est alternative, on déduit donc de la prop. 1 (III, p. 173) que la sous-algèbre G de F engendrée par e, x et y est associative. Comme \bar{x} = -x + T(x) \in -x + Ae, on a \bar{x} \in G, et de même \bar{y} \in G. Ceci étant, on a N(xy) = (xy)(\bar{x}\bar{y}) = xy.\bar{y}.\bar{x} = N(y)x\bar{x} = N(y)N(x), compte tenu de ce que N(y) \in Ae. Ceci prouve b).

Démontrons enfin c). Si N(x) est inversible dans Ae, et si l’on pose x' = N(x)^{-1}\bar{x}, on a xx' = x'x = e, car N(x) = x\bar{x} = \bar{x}x. Réciproquement, si x admet un inverse à gauche x'', on a N(x'')N(x) = N(e) = e par b), et N(x) est inversible dans Ae; de plus, comme x' = N(x)^{-1}\bar{x} est dans la sous-algèbre engendrée par x et e, les éléments x, x' et x'' appartiennent à la sous-algèbre associative engendrée par x, x'' et e, donc on a x'' = x''(xx') = (x''x)x' = x', d’où l’assertion d’unicité. Les formules x^{-1}(xy) = x(x^{-1}y) = y résultent de ce que x^{-1}, x et y sont éléments de la sous-algèbre engendrée par x, y et e, qui est associative.

C. Q. F. D.

Soient u = (x, y), v = (x', y') deux éléments de F (x, y, x', y' étant dans E). On a (III, p. 17, formule (27))

En tenant compte de ce que \bar{y}y et \bar{x} + x sont dans Ae, l’examen de ces formules montre que l’associativité de E entraîne u^2v = u(uv), donc le fait que F est alternative (III, p. 174, prop. 2). Réciproquement, si F est alternative, l’égalité u^2v = u(uv) appliquée pour y' = 0 donne

Or le premier membre est égal à (yT(x))\bar{x}' = y(\bar{x}'T(x)) = y(\bar{x}'x + \bar{x}'\bar{x}); comparant au second membre, il vient (y\bar{x}')x = y(\bar{x}'x), ce qui prouve l’associativité de E, puisque x, y et \bar{x}' sont arbitraires dans E.

C. Q. F. D.

(7)

quels que soient $\lambda, \mu$ dans V. Pour qu’on ait $e'_\lambda(e'_\mu e'_v) = (e'_\lambda e'_\mu)e'_v$, il suffit que, dans V, $\lambda, \mu, v$, soient linéairement dépendants sur $\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}$; cette condition est nécessaire si $2 \neq 0$ dans A.

Gardons les notations du début de ce n°. Il résulte des formules (33) de III, p. 18, que l’ensemble S formé des éléments $\pm e_0, \pm e_1, \pm e_2, \pm e_3$ est stable pour la multiplication. En outre, pour $x, y, y'$ dans E, on a, en vertu de la formule (22) de III, p. 16,

(8)

de sorte que l’ensemble T formé des éléments $\pm e_i$ ($0 \leq i \leq 7$) est stable pour la multiplication; en outre, sa table de multiplication est indépendante de l’anneau A.

En particulier, soient A'' le corps $\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}$ à deux éléments, et soient E'' l’algèbre des quaternions de type (1, 0, 1) sur A'', F'' l’algèbre des octonions de type (1, 0, 1, 1) sur A''; soit $(e''_i)_{0 \leq i \leq 7}$ la base de F'' formée comme ci-dessus. Puisque $-e''_i = e''_i$, l’ensemble T'' des $e''_i$ a 8 éléments et est stable par la multiplication; en outre, il résulte aussitôt de ce qui précède que l’application $\theta : T \to T''$ telle que $\theta(e_i) = \theta(-e_i) = e''_i$ pour $0 \leq i \leq 7$ est un homomorphisme pour la multiplication. D’ailleurs l’algèbre des quaternions E'' est ici commutative, donc F'' est associative (III, p. 17, prop. 5); de plus, la conjugaison dans F'' est ici l’identité. Donc T'' est un groupe, et les formules (8) montrent qu’il est commutatif; ces formules et les formules (33) de III, p. 18 montrent que le carré de tout élément de T'' est l’unité. Si l’on désigne par V le groupe T'' écrit en notation additive, V peut être muni d’une seule manière d’une structure d’espace vectoriel sur $\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}$, nécessairement de dimension 3 puisque Card(V) = 8 = $2^{\dim(V)}$.

Pour tout $\lambda \in V$, notons alors $e'_\lambda$ l’élément de $(e_i)_{0 \leq i \leq 7}$ tel que $\theta(e'_\lambda) = \lambda$; on a $e'_0 = e_0$; en outre, comme $\theta$ est un homomorphisme et que la relation $\theta(x) = \theta(y)$ équivaut à $x = \pm y$, on a $e'_\lambda e'_\mu = \pm e'_{\lambda + \mu}$. Si $\lambda, \mu, v$ sont linéairement indépendants sur $\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}$, ils forment une base de V, donc tous les éléments $e_i$ ($0 \leq i \leq 7$) appartiennent à la sous-algèbre engendrée par $e'_\lambda, e'_\mu$ et $e'_v$; lorsque $2 \neq 0$ dans A, on ne peut par suite avoir $e'_\lambda(e'_\mu e'_v) = (e'_\lambda e'_\mu)e'_v$, car F serait associative, donc E serait commutative (III, p. 17, prop. 5), ce qui contredit les relations (33) de III, p. 18. Au contraire, si $\lambda, \mu, v$ sont linéairement dépendants dans V, les trois éléments $e'_\lambda, e'_\mu, e'_v$ appartiennent à une sous-algèbre à 2 générateurs de F, qui est par suite associative (III, p. 173, prop. 1); d’où la conclusion.