Exercice 1, § 11

Si V est un A-module projectif de type fini, il en est de même de End(V), canoniquement identifié à $V \otimes_A V^*$ (II, p. 77, corollaire). Si, à tout élément $u \in \mathrm{End}(V)$ on fait correspondre la forme A-linéaire $v \mapsto \mathrm{Tr}(uv)$ sur End(V), on définit une bijection A-linéaire de End(V) sur son dual $(\mathrm{End}(V))^*$. Identifiant End(V) et son A-module dual par cette application, la structure de A-algèbre sur End(V) définit par dualité (III, p. 139, Exemple 3) une structure de A-cogèbre sur End(V), coassociative et ayant pour coïunité la forme $\mathrm{Tr}: V \to A$. En particulier, pour $V = A^n$, on définit ainsi sur $\mathbf{M}_n(A)$ une structure de cogèbre pour laquelle la coproduit est donné par $c(E_{ij}) = \sum_k E_{kj} \otimes E_{ik}$. Cette structure de cogèbre et la structure d’algèbre de $\mathbf{M}_n(A)$ ne définissent pas une structure de bigèbre.