Bài tập 1, § 11

Nếu V là một A-môđun xạ ảnh sinh hữu hạn, thì End(V) cũng vậy, được đồng nhất một cách chính tắc với $V \otimes_A V^*$ (II, § 4, no. 2, Hệ quả của Mệnh đề 2). Nếu mỗi phần tử $u \in \mathrm{End}(V)$ liên kết với dạng A-tuyến tính $v \mapsto \mathrm{Tr}(uv)$ trên $\mathrm{End}(V)$, thì định nghĩa được một song ánh A-tuyến tính từ $\mathrm{End}(V)$ lên đối ngẫu của nó $(\mathrm{End}(V))^*$. Khi đồng nhất $\mathrm{End}(V)$ với A-môđun đối ngẫu của nó theo ánh xạ này, cấu trúc đại số trên A của $\mathrm{End}(V)$ xác định bằng đối ngẫu (no. 1, Ví dụ 3) một cấu trúc đối đại số trên A của $\mathrm{End}(V)$, cấu trúc này là đồng kết hợp và có đồng đơn vị là dạng $\mathrm{Tr}: V \to A$. Đặc biệt, với $V = A^n$, một cấu trúc đối đại số được định nghĩa trên $\mathbf{M}_n(A)$ mà đồng tích được cho bởi $c(E_{ij}) = \sum_k E_{kj} \otimes E_{ik}$. Cấu trúc đối đại số này và cấu trúc đại số trên $\mathbf{M}_n(A)$ không xác định một cấu trúc song đại số.