Exercice 12, § 11

Algèbre, III, p. 199

Bourbaki marks this one as harder than the rest.

Soit $X = (\xi_{ij})$ une matrice carrée d’ordre n sur un corps commutatif K ; soit H une partie de p éléments de $\{1, n\}$ , H’ le complémentaire de H par rapport à $\{1, n\}$ ; on suppose que, pour tout couple d’indices $h \in H, k \in H'$ , on a

\sum_i \xi_{ih} \xi_{ik} = 0.

Montrer que, quelles que soient les parties L, M de p éléments de

\{1, n\}

, on a

\rho_{M, M'} \det(X_{L, H}) \det(X_{M', H'}) - \rho_{L, L'} \det(X_{M, H}) \det(X_{L, H'}) = 0.

(Considérer les colonnes

x_h

d’indice

h \in H

de X comme des vecteurs de

E = K^n

, les colonnes

x_k^*

d’indice

k \in H'

comme des vecteurs de

E^*

, et montrer que la

(n - p)

-forme

x_H^*

est proportionnelle à

\varphi_p(x_H)

Solution

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