Exercice 17, § 11

Soient $K$ un corps commutatif, $E$ un espace vectoriel sur $K$. a) Soit $z$ un $p$-vecteur $\neq 0$ sur $E$, et soit $V_z$ le sous-espace vectoriel de $E$ formé des vecteurs $x$ tels que $z \wedge x = 0$. On a $\dim(V_z) \leq p$; si $(x_i)_{1 \leq i \leq q}$ est un système libre de vecteurs de $V_z$, il existe un $(p-q)$-vecteur $v$ tel que $z = v \wedge x_1 \wedge \cdots \wedge x_q$. Si $E$ est de dimension finie, on a $V_z = \varphi^{-1}(M_z^0)$, où $M_z^0$ est l’orthogonal dans $E^*$ du sous-espace $M_z$ associé à $z$. Pour que $z$ soit un $p$-vecteur pur, il faut et il suffit que $\dim(V_z) = p$ et on a alors $V_z = M_z$. b) Soient $v$ un $p$-vecteur pur, $w$ un $q$-vecteur pur, $V$ et $W$ les sous-espaces de $E$ associés respectivement à $v$ et $w$. Pour que $V \subset W$, il faut et il suffit que $q \geq p$ et qu’il existe un $(q-p)$-vecteur $u$ tel que $w = u \wedge v$. Pour que $V \cap W = \{0\}$, il faut et il suffit que $v \wedge w \neq 0$; le sous-espace $V + W$ est alors associé au $(p+q)$-vecteur pur $v \wedge w$. c) Soient $u$ et $v$ deux $p$-vecteurs purs, $U$ et $V$ les sous-espaces associés respectivement à $u$ et $v$. Pour que $u + v$ soit pur, il faut et il suffit que $\dim(U \cap V) \geq p - 1$.