Bài tập 17, § 11

Cho K là một trường giao hoán và E là một không gian vectơ trên K.

(a) Cho $z$ là một $p$-vectơ $\neq 0$ trên E và cho $V_z$ là không gian con vectơ của E gồm các vectơ $x$ sao cho $z \wedge x = 0$. Khi đó $\dim(V_z) \leq p$; nếu $(x_i)_{1 \leq i \leq q}$ là một hệ tự do các vectơ của $V_z$, thì tồn tại một $(p - q)$-vectơ $v$ sao cho $z = v \wedge x_1 \wedge \cdots \wedge x_q$. Nếu E là hữu hạn chiều, thì $V_z = \overline{\phi}(M_z^0)$, trong đó $M_z^0$ là phần trực giao trong $E^*$ của không gian con $M_z$ liên kết với $z$. Để $z$ là một $p$-vectơ thuần, điều kiện cần và đủ là $\dim(V_z) = p$ và khi đó $V_z = M_z$.

(b) Cho $v$ là một $p$-vectơ thuần, $w$ là một $q$-vectơ thuần và V, W là các không gian con của E lần lượt liên kết với $v$ và $w$. Để $V \subset W$, điều kiện cần và đủ là $q \geq p$ và tồn tại một $(q - p)$-vectơ $u$ sao cho $w = u \wedge v$. Để $V \cap W = \{0\}$, điều kiện cần và đủ là v ∧ w ≠ 0; không gian con V + W khi đó liên kết với $(p + q)$-vectơ thuần v ∧ w.

(c) Cho u và v là hai $p$-vectơ thuần và U, V là các không gian con lần lượt liên kết với u và v. Để u + v là thuần, điều kiện cần và đủ là dim(U ∩ V) ≥ p − 1.