Exercice 18, § 11

Soit $z = \sum_H \alpha_H e_H$ un $p$-vecteur pur non nul d’un espace vectoriel $E$ de dimension $n$, exprimé à l’aide de ses composantes relatives à une base quelconque $(e_i)_{1 \leq i \leq n}$ de $E$. Soit $G$ une partie de $p$ éléments de $\{1, n\}$ telle que $\alpha_G \neq 0$; soit $(i_h)_{1 \leq h \leq p}$ la suite des indices de $G$ rangés dans l’ordre croissant, $(j_k)_{1 \leq k \leq n-p}$ la suite des indices du complémentaire $G'$ de $G$, rangés dans l’ordre croissant. Pour tout couple $(h, k)$ d’indices tels que $1 \leq h \leq p$, $1 \leq k \leq n-p$, soit $\beta_{hk}$ la composante $\alpha_H$ de $z$ correspondant à la partie $H$ de $\{1, n\}$ formée des $p-1$ indices de $G$ distincts de $i_h$, et de l’indice $j_k \in G'$; soit $X$ la matrice $(\beta_{hk})$ à $p$ lignes et $n-p$ colonnes. Etant donnée une partie quelconque $L$ de $p$ éléments de $\{1, n\}$, telle que $L \cap G$ ait $q \geq 1$ éléments, montrer que $(\alpha_G)^{q-1} \alpha_L$ est égal, au signe près, au mineur d’ordre $q$ de $X$, formé des lignes d’indice $h$ tel que $i_h \in G \cap CL$, et des colonnes d’indice $k$ tel que $j_k \in L \cap G$. (Ecrire que $z$ est de la forme $\alpha_G y_1 \wedge y_2 \wedge \cdots \wedge y_p$, où les vecteurs $y_i$ sont tels que, dans la matrice $Y$ à $n$ lignes et $p$ colonnes dont les $y_i$ sont les colonnes, la sous-matrice formée des lignes dont l’indice appartient à $G$ soit la matrice unité.)

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