Bài tập 18, § 11

Cho z = $\sum_H \alpha_H e_H$ là một p-vectơ thuần khác không của một không gian vectơ chiều n E, được biểu diễn bằng các thành phần của nó đối với một cơ sở tùy ý $(e_i)_{1 \leq i \leq n}$ của E. Cho G là một tập con của $[1, n]$ có p phần tử sao cho $a_G \neq 0$; gọi $(i_h)_{1 \leq h < p}$ là dãy các chỉ số trong G được sắp theo thứ tự tăng và $(j_k)_{1 \leq k \leq n-p}$ là dãy các chỉ số trong phần bù G' của G, được sắp theo thứ tự tăng. Với mọi cặp có thứ tự $(h, k)$ các chỉ số sao cho $1 \leq h \leq p$, $1 \leq k \leq n - p$, gọi $\beta_{hk}$ là thành phần $\alpha_H$ của z tương ứng với tập con H của $[1, n]$ gồm $p - 1$ chỉ số trong G phân biệt với $i_h$ và chỉ số $j_k \in G'$; gọi X là ma trận $(\beta_{hk})$ có p hàng và $n - p$ cột. Cho một tập con tùy ý L của $[1, n]$ có p phần tử sao cho $L \cap G$ có $q \geq 1$ phần tử, hãy chứng minh rằng $(a_G)^{q-1} a_L$ bằng, sai khác một dấu, với định thức con của X cấp q, gồm các hàng có chỉ số h sao cho $i_h \in G \cap L$ và các cột có chỉ số k sao cho $j_k \in L \cap G'$. (Viết z dưới dạng $a_G y_1 \wedge y_2 \wedge \cdots \wedge y_p$, trong đó các vectơ $y_i$ sao cho, trong ma trận Y có n hàng và p cột mà các cột là các $y_i$, ma trận con gồm các hàng có chỉ số thuộc G là ma trận đơn vị.)