Exercice 22, § 11

Algèbre, III, p. 201

Soient E un ensemble ordonné dans lequel tout intervalle $[a, b]$ est fini. Soit S la partie de $E \times E$ formée des couples $(x, y)$ tels que $x \leq y$ . Montrer que l’on définit sur le A-module $A^{(S)}$ des combinaisons linéaires formelles des éléments de S une structure de cogèbre co-associative en prenant pour coproduit

c((x, y)) = \sum_{x \leq z \leq y} (x, z) \otimes (z, y).

Pour cette cogèbre, la forme linéaire $\gamma$ telle que

\gamma((x, y)) = 0 \quad \text{si } x \neq y \text{ dans } E, \quad \gamma((x, y)) = 1

est une coïunité.

Solution

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