Exercice 23, § 11

Soit C une cogèbre sur un anneau A. On dit qu’un sous-A-module S de C est une sous-cogèbre de C si l’on a $c(S) \subset \operatorname{Im}(S \otimes S)$. a) Si C est coassociative (resp. cocommutative), il en est de même de toute sous-cogèbre. Si $\gamma$ est une coïunité de C, la restriction de $\gamma$ à toute sous-cogèbre de C est une coïunité. b) Quelles sont les sous-cogèbres de la cogèbre $A^{(\mathbf{x})}$ (III, p. 139, Exemple 4)? c) Si $(S_\alpha)$ est une famille de sous-cogèbres de C, $\sum_\alpha S_\alpha$ est une sous-cogèbre de C (la plus petite contenant toutes les $S_\alpha$).