Exercice 24, § 11

Soit C une cogèbre sur un anneau A. On dit qu’un sous-A-module S de C est un coïdéal à droite (resp. à gauche) si l’on a $c(S) \subset \operatorname{Im}(S \otimes C)$ (resp. $c(S) \subset \operatorname{Im}(C \otimes S)$). a) Une sous-cogèbre (exerc. 23) est un coïdéal à droite et à gauche. La réciproque est vraie si A est un corps. b) Toute somme de coïdéaux à droite (resp. à gauche) est un coïdéal à droite (resp. à gauche). c) Si S est un coïdéal à droite (resp. à gauche) de C, l’orthogonal $S^0$ est un idéal à droite (resp. à gauche) dans l’algèbre duale $C^*$. d) Si A est un corps et $\mathfrak{J}'$ un idéal à droite (resp. à gauche) dans l’algèbre duale $C^*$, l’orthogonal $\mathfrak{{J}'}^0$ dans C est un coïdéal à droite (resp. à gauche) de C. (Raisonner par l’absurde en supposant qu’il existe un $x \in \mathfrak{{J}'}^0$ tel que $c(x) \notin \mathfrak{{J}'}^0 \otimes C$; écrire $c(x) = \sum_i y_i \otimes z_i$, où les $z_i$ sont linéairement indépendants, et montrer qu’on pourrait trouver $y' \in \mathfrak{J}'$ et $z' \in C^*$ tel que $\langle y'z', x \rangle \neq 0.$

En déduire que pour qu’un sous-espace vectoriel S de C soit un coïdéral à droite (resp. à gauche), il faut et il suffit que $S^0$ soit un idéal à droite (resp. à gauche) de $C^*$.

e) Déduire de d) que si A est un corps, toute intersection de coïdéaux à droite (resp. coïdéaux à gauche, resp. sous-cogèbres) de C est un coïdéral à droite (resp. un coïdéral à gauche, resp. une sous-cogèbre). Pour que S soit une sous-cogèbre de C, il faut et il suffit que son orthogonal $S^0$ soit un idéal bilatère de l’algèbre $C^*$.