Bài tập 24, § 11

Cho C là một đối đại số trên một vành A. Một môđun con A S của C được gọi là một đối iđêan phải (tương ứng trái) nếu $c(S) \subset \operatorname{Im}(S \otimes C)$ (tương ứng $c(S) \subset \operatorname{Im}(C \otimes S)$).

(a) Một đối đại số con (Bài tập 23) là một đối iđêan phải và trái. Điều đảo lại là đúng nếu A là một trường.

(b) Mọi tổng của các đối iđêan phải (tương ứng trái) đều là một đối iđêan phải (tương ứng trái).

(c) Nếu S là một đối iđêan phải (tương ứng trái) của C, trực giao $S^0$ là một iđêan phải (tương ứng trái) của đại số đối ngẫu $C^*$.

(d) Nếu A là một trường và $\mathfrak{J}'$ là một iđêan phải (tương ứng trái) của đại số đối ngẫu $C^*$, thì trực giao $\mathfrak{{J}'}^0$ trong C là một đối iđêan phải (tương ứng trái) của C. (Lập luận bằng phản chứng bằng cách giả sử rằng tồn tại một $x \in \mathfrak{{J}'}^0$ sao cho $c(x) \notin \mathfrak{{J}'}^0 \otimes C$; viết $c(x) = \sum_i y_i \otimes z_i$, trong đó các $z_i$ độc lập tuyến tính, và chứng minh rằng sẽ có $y' \in \mathfrak{J}'$ và $z' \in C^*$ sao cho $\langle y'z', x \rangle \neq 0.$)

Suy ra rằng để một không gian con vectơ S của C là một đối iđêan phải (tương ứng trái), điều kiện cần và đủ là $S^0$ là một iđêan phải (tương ứng trái) của $C^*$.

(e) Suy ra từ (d) rằng nếu A là một trường thì mọi giao của các đối iđêan phải (tương ứng các đối iđêan trái, tương ứng các đối đại số con) của C đều là một đối iđêan phải (tương ứng đối iđêan trái, tương ứng đối đại số con). Để S là một đối đại số con của C, điều kiện cần và đủ là trực giao S^0 của nó là một iđêan hai phía của đại số C*.