Exercice 26, § 11

Soit C une cogèbre coassociative et coünifère sur un corps commutatif K.

a) Pour tout sous-espace vectoriel E de C qui est un $C^*$-module à gauche pour la loi $(u, x) \mapsto u \cdot x$, l’annulateur à gauche de ce $C^*$-module est un idéal bilatère $\mathfrak{J}'$ de l’algèbre $C^*$. Montrer que si E est de dimension finie sur K, $C^*/\mathfrak{J}'$ est de dimension finie.

b) Déduire de a) que pour tout élément $x \in C$, la sous-cogèbre de C engendrée par x est de dimension finie. (Noter que le $C^*$-module E engendré par x est de dimension finie, et que si $\mathfrak{J}'$ est son annulateur à gauche, on a $x \in \mathfrak{{J}'}^0$, orthogonal de $\mathfrak{J}'$ dans C.)