Bài tập 26, § 11

Cho C là một đối đại số kết hợp và có phần tử đơn vị đối trên một trường giao hoán K.

a) Với mọi không gian con E của C là một $C^*$-môđun trái đối với luật $(u, x) \mapsto u \cdot x$, linh hóa tử trái của $C^*$-môđun này là một iđêan hai phía $\mathfrak{J}'$ của đại số $C^*$. Chứng minh rằng nếu E có số chiều hữu hạn trên K, $C^*/\mathfrak{J}'$ có số chiều hữu hạn.

b) Suy ra từ a) rằng với mọi phần tử $x \in C$, đối đại số con của C sinh bởi x có số chiều hữu hạn. (Chú ý rằng $C^*$-môđun E sinh bởi x có số chiều hữu hạn, và rằng nếu $\mathfrak{J}'$ là linh hóa tử trái của nó, ta có $x \in \mathfrak{{J}'}^0$, trực giao của $\mathfrak{J}'$ trong C.)