Exercice 4, § 11

Soient E une bigèbre commutative sur A, m le produit $E \otimes E \to E$, c le coproduit $E \to E \otimes E$, e l’élément unité et $\gamma$ la coïunité de E. a) Montrer que pour toute A-algèbre commutative B, la loi de composition qui, à tout couple $(u, v) \in \mathrm{Hom}_{A-\mathrm{alg.}}(E, B) \times \mathrm{Hom}_{A-\mathrm{alg.}}(E, B)$, associe l’homomorphisme de A-algèbres

(où $m_B$ est le produit dans B) définit sur $\mathrm{Hom}_{A-\mathrm{alg.}}(E, B)$ une structure de monoïde. b) Afin que, pour toute A-algèbre commutative B, $\mathrm{Hom}_{A-\mathrm{alg.}}(E, B)$ soit un groupe, il faut et il suffit qu’il existe un homomorphisme $i: E \to E$ de A-algèbres tel que $i(e) = e$ et que les applications composées $m \circ (1_E \otimes i) \circ c$ et $m \circ (i \otimes 1_E) \circ c$ soient toutes deux égales à l’application $x \mapsto \gamma(x)e$. On dit alors que i est une inversion dans E; c’est un isomorphisme de E sur la bigèbre opposée $E^\circ$.