Bài tập 4, § 11

Cho E là một đại số bi giao hoán trên A, $m$ là tích $E \otimes E \to E$, $c$ là đồng tích $E \to E \otimes E$, $e$ là phần tử đơn vị và $\gamma$ là đồng đơn vị của E. (a) Chứng minh rằng với mọi đại số giao hoán trên A giao hoán B, luật hợp thành gán cho mỗi cặp có thứ tự

đồng cấu đại số trên A (trong đó $m_B$ là tích trong B), xác định một cấu trúc vị nhóm trên $\mathrm{Hom}_{A-\mathrm{alg.}}(E, B)$. (b) Để với mọi đại số giao hoán trên A B, $\mathrm{Hom}_{A-\mathrm{alg.}}(E, B)$ là một nhóm, điều kiện cần và đủ là tồn tại một đồng cấu đại số trên A $i: E \to E$ sao cho $i(e) = e$ và các ánh xạ hợp thành $m \circ (1_E \otimes i) \circ c$ và $m \circ (i \otimes 1_E) \circ c$ đều bằng ánh xạ $x \mapsto \gamma(x)e$. Khi đó $i$ được gọi là một phép nghịch đảo trong E; nó là một đẳng cấu của E lên đại số bi đối $E^0$.