Exercice 9, § 11

On appelle adjointe d’une matrice carrée X d’ordre n sur A la matrice $\tilde{X} = (\det(X^{ji}))$ des mineurs d’ordre $n - 1$ de X. Montrer que, si X est inversible, on a $\det(\tilde{X}) = (\det X)^{n-1}$, et que tout mineur $\det(\tilde{X}_{H', K'})$ d’ordre p de $\tilde{X}$ est donné par la formule

où H’ et K’ sont les complémentaires de H et K respectivement par rapport à $\{1, n\}$ (« identités de Jacobi »; utiliser la relation (80) de III, p. 169).