a) Les similitudes directes sont les éléments inversibles de $A(\Phi)$. L’algèbre $A(\Phi)$ est une algèbre commutative de degré 2 sur A. Lorsque E ne contient pas de vecteur isotrope $\neq 0$, $A(\Phi)$ est un corps, extension quadratique de A ; dans le cas contraire c’est la composée directe de deux corps isomorphes à A.

b) Soit $(e_1, e_2)$ une base orthogonale de E ; posons $\alpha_i = \Phi(e_i, e_i)$ $(i = 1, 2)$ et $\delta = -\alpha_2/\alpha_1$. Alors les matrices des éléments de $A(\Phi)$ par rapport à cette base sont les matrices de la forme $\begin{pmatrix} a & \delta b \\ b & a \end{pmatrix}$ où $a \in A, b \in A$.

c) L’espace E est un $A(\Phi)$-module libre monogène, engendré par n’importe quel vecteur non isotrope.

Introduisons en effet une forme bilinéaire alternée auxiliaire $B \neq 0$ sur E ; alors B est non dégénérée. Il existe donc un endon° 1

morphisme $\omega$ de E tel que $\Phi(x, y) = B(\omega(x), y)$ quels que soient $x, y$ dans E. Pour tout endomorphisme inversible $u$ de E, on a

pour que $u$ soit une similitude directe, il faut et il suffit donc que l’on ait quels que soient $x, y$ dans E ; comme $\det u \neq 0$ et que B est non dégénérée, ceci équivaut à $u^{-1}\omega u = \omega$, ou encore à $u\omega = \omega u$. Prenons pour B la forme bilinéaire alternée dont la matrice $S$ par rapport à $(e_1, e_2)$ est $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$; en notant $R$ et $W$ les matrices de $\Phi$ et de $\omega$ par rapport à cette base, la relation $\Phi(x, y) = B(\omega(x), y)$ s’écrit, en vertu de la formule (47) du § 1, n° 10, $R = {}^tW.S$; en explicitant ceci montre que l’on a $W = \begin{pmatrix} 0 & \alpha_2 \\ -\alpha_1 & 0 \end{pmatrix}$. Si $\begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix}$ désigne la matrice de $u$ par rapport à $(e_1, e_2)$, la relation $u\omega = \omega u$ équivaut donc aux relations $b\alpha_2 = -c\alpha_1, a\alpha_2 = d\alpha_2, a\alpha_1 = d\alpha_1$, c’est-à-dire à $a = d$ et $c = \delta b$; ceci démontre que les matrices des similitudes directes sont les matrices inversibles de la forme $\begin{pmatrix} a & \delta b \\ b & a \end{pmatrix}$ ($a, b$ dans A).

Or les endomorphismes de E dont les matrices sont de la forme $\begin{pmatrix} a & \delta b \\ b & a \end{pmatrix}$ ($a, b$ dans A) forment un sous-espace vectoriel de dimension 2 de $\mathfrak{L}_A(E)$, engendré par 1 et par l’endomorphisme $\omega$; comme $\omega^2$ est l’homothétie de rapport $-\alpha_1\alpha_2$, ce sous-espace est la sous-algèbre $A(\Phi)$ de $\mathfrak{L}_A(E)$ engendrée par les similitudes directes. Les similitudes directes sont les éléments inversibles de $A(\Phi)$, c’est-à-dire ceux dont les matrices vérifient $a^2 - \delta b^2 \neq 0$. Le fait que l’algèbre $A(\Phi)$ est commutative est évident. Appliquons-lui les résultats du chap. II, § 7, n° 7 : si $\delta$ n’est pas un carré dans A, c’est-à-dire si aucun vecteur non nul de E n’est isotrope, $A(\Phi)$ est un corps ; si, au contraire, $\delta$ est un carré dans A, c’est-à-dire si E contient des vecteurs isotropes $\neq 0$, $A(\Phi)$ est composée directe de deux corps isomorphes à A. Ceci démontre a) et b).

Enfin tout vecteur non isotrope de E peut être pris comme premier vecteur $e_1$ d’une base orthogonale $(e_1, e_2)$ (§ 6, n° 1); donc ses transformés $u(e_1)$ par les éléments $u$ de $\Lambda(\Phi)$ sont les vecteurs de la forme $ae_1 + be_2$ ($a, b$ dans $\Lambda$), c’est-à-dire tous les vecteurs de $E$, puisque toutes les matrices $\begin{pmatrix} a & \delta b \\ b & a \end{pmatrix}$ sont des matrices d’éléments de $\Lambda(\Phi)$. Autrement dit $E$ est un $\Lambda(\Phi)$-module monogène, engendré par n’importe quel vecteur non isotrope. On voit de plus que c’est un $\Lambda(\Phi)$-module monogène libre, puisque $u(e_1) = ae_1 + be_2 = 0$ entraîne $a = b = 0$, donc $u = 0$. Ceci démontre c).

La première assertion résulte du fait que l’algèbre $A(\Phi)$ est commutative. Comme $E$ est un $A(\Phi)$-module libre monogène engendré par $x$ (resp. $y$), il existe un élément $u$ (resp. $u'$) de $A(\Phi)$ et un seul tel que $y = u(x)$ (resp. $x = u'(y)$) ; d’où $x = u(u'(x))$, et $uu'$ est l’identité ; ceci montre que $u$ est inversible, et est donc une similitude directe.

La première assertion résulte du cor. 1. Celui-ci montre aussi qu’il existe une similitude directe $u$ et une seule telle que $y = u(x)$ ; comme $\Phi(u(x), u(x)) = \Phi(x, x)$, le multiplicateur de $u$ est égal à 1, et $u$ est donc une rotation.

Ceci résulte du cor. 1 et du fait que $H$ laisse globalement invariante toute droite de $E$.

En effet 1 et $-1$ sont les seuls éléments de $H \cap O^+$.

En effet la relation $u/\overline{u} = 1$ équivaut à $u = \overline{u}$, c’est-à-dire à $u \in A^* = H$; donc $H$ est le noyau de $u \to u/\overline{u}$. Comme $N(u/\overline{u}) = 1$, $u/\overline{u}$ est une rotation (Remarque 1). Il reste à montrer que tout élément $\varphi$ de $O^+$ est de la forme $u/\overline{u}$ ($u \in S^+$). Si $1 + \varphi$ est inversible, on peut prendre $u = 1 + \varphi$, car la relation $N(\varphi) = \varphi \overline{\varphi} = 1$ implique $1 + \varphi = \varphi(1 + \overline{\varphi})$. Sinon, l’on a $N(1 + \varphi) = (1 + \varphi)(1 + \overline{\varphi}) = 0$, c’est-à-dire, en posant $\varphi = a + b\omega$ ($a \in A,\ b \in A,\ \omega^2 = \delta \in A$), $2(1 + a) = 0$, d’où $a = -1$; or les relations $a = -1$ et $N(\varphi) = a^2 - \delta b^2 = 1$ entraînent $b = 0$, d’où $\varphi = -1$; comme $\overline{\omega} = -\omega$, il suffit, dans ce cas, de prendre $u = \omega$.

Lorsque $A(\Phi)$ est un corps, la prop. 3 est un cas particulier du théorème de Hilbert (chap. V, § 11, n° 5, th. 3).

En effet, si $\overline{\varphi}$ est une rotation, on a $\overline{\varphi} = \varphi^{-1}$, d’où $d(i(\varphi)) = \varphi/\overline{\varphi} = \varphi^2$. D’autre part, si $\varphi \in S^+/H$, $\varphi$ est la classe mod. $H$ d’une similitude directe $u$, et $d(\varphi) = u/\overline{u} = u^2 / N(u)$ est congru à $u^2$ mod. $H$; d’où la seconde formule.

b) Lorsque $\delta$ est le carré d’un élément $\gamma$ de $A$, l’application $t$ est une bijection de $S^+/H$ sur $\tilde{A}$ privé des éléments $1/\gamma$ et $-1/\gamma$.

c) En notant $S^+/H$ additivement, on a, pour $\varphi, \varphi'$ dans $S^+/H$

(2)

lorsque $t(\varphi)$ et $t(\varphi')$ sont finis et que $1 + t(\varphi)t(\varphi')$ est $\neq 0$.

En effet, comme $S^+/H$ est un ensemble de droites (privées de 0) de $A(\Phi)$ considéré comme plan vectoriel sur $A$, $t$ est injective. D’autre part, pour qu’un élément $a + b\omega$ ($a \in A, b \in A$) de $A(\Phi)$ soit une similitude directe, il faut et il suffit qu’il soit inversible, c’est-à-dire que l’on ait $N(a + b\omega) = a^2 - \delta b^2 \neq 0$, ou encore $(b/a)^2 \neq 1/\delta$; ceci démontre les assertions de surjectivité dans a) et b). Enfin le produit des similitudes $1 + t(\varphi)\omega$ et $1 + t(\varphi')\omega$ est la similitude $1 + \delta t(\varphi)t(\varphi') + (t(\varphi) + t(\varphi'))\omega$, ce qui démontre c).

(3)

(4) (5)

La relation (3) exprime en effet que $N(c(\theta) + s(\theta)\omega) = 1$. Pour (4) et (5) il suffit de calculer, dans $A(\Phi)$, le produit des rotations $c(\theta) + s(\theta)\omega$ et $c(\theta') + s(\theta')\omega$.

(6)

En effet $\varphi$ est la classe mod. $H$ de la similitude $1 + t\omega$, et la rotation $d(\varphi)$ est donc $(1 + t\omega)^2/N(1 + t\omega) = (1 + \delta t^2 + 2t\omega)/(1 - \delta t^2)$ (prop. 3), ce qui démontre (6).

(7)

Pour tout élément $\varphi$ de $S^+/H$ tel que $t(\varphi)$ soit fini et $1 + \delta t(\varphi)^2 \neq 0$, on a (8)

En effet ceci résulte aussitôt de la prop. 6 et du cor. de la prop. 3.

Nous avons déjà vu que les homomorphismes en question sont injectifs, et il suffit de montrer que le premier est surjectif. Soit $(e_1, e_2)$ une base orthonormale de E, et soit $\omega$ la similitude directe telle que $\omega(e_1) = e_2$ (cor. 1 de la prop. 1, n° 1) ; on a alors $\omega^2 = -1$ (prop. 1, b)). Étant donnée une similitude directe quelconque $u = a + bw (a \in A,\ b \in A)$, on a $N(u) = a^2 + b^2 > 0$, et il existe une rotation et une seule contenue dans la même demi-droite de $A(\Phi)$ que $u$, à savoir $(a^2 + b^2)^{1/2}\ u$. CQFD.

Les hypothèses impliquent en effet que E ne contient point de droites isotropes. Notre assertion résulte alors du cor. 1 de la prop. 1 (n° 1).

Nous supposerons désormais que A est un corps ordonné maximal, et que la forme $\Phi$ est positive. Dans l’ensemble des couples $(D_1, D_2)$ de droites (resp. demi-droites d’origine 0) de E, la relation « il existe une similitude directe (resp. une rotation) u telle que $u(D_1) = D'_1$ et $u(D_2) = D'_2$ » est une relation d’équivalence entre les couples $(D_1, D_2)$ et $(D'_1, D'_2)$. La classe d’équivalence du couple $(D_1, D_2)$ s’appelle, par définition l’angle des droites (resp. demi-droites) $D_1, D_2$ (prises dans cet ordre); on le note $(\widehat{D_1, D_2})$.

Démontrons la nécessité de la condition énoncée. Soit u une similitude directe (resp. une rotation) telle que $u(D_1) = D'_1$ et $u(D_2) = D'_2$. Il existe, d’après le cor. 3 de la prop. 1, une similitude directe (resp. d’après le cor. de la prop. 7, une rotation) v telle que $v(D_1) = D_2$. Comme le groupe $S^+$ (resp. $O^+$) est commutatif, on a $D'_2 = u(v(D_1)) = v(u(D_1)) = v(D'_1)$, et ceci montre que $(\widehat{D_1, D'_1}) = (\widehat{D_2, D'_2})$. La suffisance se déduit de la nécessité en échangeant $D_2$ et $D'_1$.

Il résulte de la prop. 8 que, à tout angle $(\widehat{D_1, D_2})$ de droites (resp. demi-droites) d’origine 0 de E, est canoniquement associé un élément bien déterminé de $S^+/H$ (resp. $O^+$), à savoir la classe mod. H des similitudes directes $\varphi$ (resp. la rotation $\varphi$) telles que $u(D_1) = D_2$ pour n’importe quel représentant $(D_1, D_2)$ de l’angle $(\widehat{D_1, D_2})$. On a ainsi défini une bijection canonique $h$ (resp. $h'$) de l’ensemble $\mathfrak{A}_0$ des angles de droites (resp. $\mathfrak{A}$ des angles de demi-droites) sur $S^+/H$ (resp. $O^+$) ; en particulier, pour tout $\varphi \in \mathfrak{A}$, on dit que $h(\varphi)$ est la rotation d’angle $\varphi$. Nous transporterons à $\mathfrak{A}_0$ et $\mathfrak{A}$, au moyen de $h^{-1}$ et de ${h'}^{-1}$, les structures de groupes commutatifs de $S^+/H$ et de $O^+$, et nous noterons additivement les groupes $\mathfrak{A}_0$ et $\mathfrak{A}$ ainsi obtenus. Si l’on désigne par $D, D', D''$ des droites (resp. demi-droites) d’origine 0 de E, on a par définition

on en déduit

Comme $\mathfrak{A}_0, S^+/H, \mathfrak{A}$ et $O^+$ sont isomorphes (prop. 3), il suffit de faire la démonstration pour $O^+$, c’est-à-dire montrer qu’il y a exactement $n$ rotations $\varphi$ telles que $\varphi^n = 1$. Or, comme $\mathbf{A}$ est un corps ordonné maximal et que $\mathbf{A}(\Phi)$ est un surcorps de degré 2 de $\mathbf{A}$ (prop. 1 a)), $\mathbf{A}(\Phi)$ est un corps algébriquement clos (chap. VI, § 2, no 6, th. 3). Donc les racines $n$-ièmes de l’unité dans $\mathbf{A}(\Phi)$ forment un groupe cyclique d’ordre $n$ (chap. V, § 11, no 1, th. 1). Comme on a $N(u) = u \overline{u} \geqslant 0$ pour tout $u \in \mathbf{A}(\Phi)$, la relation $u^n = 1$ entraîne que l’on a $N(u) = 1$, donc que $u$ est une rotation (no 1, Remarque 1). Ceci démontre notre assertion.

Nous supposerons enfin que le plan $E$ est orienté.

Le cas où $u$ est une homothétie est trivial. Dans le cas contraire on a $x \wedge u(x) \neq 0$ pour tout $x \neq 0$; soient $x, y$ deux vecteurs de $E$ ($x \neq 0, y \neq 0$); il existe $\varphi \in S^+$ tel que $y = \varphi(x)$, d’où $y \wedge u(y) = \varphi(x) \wedge u \varphi(x) = \varphi(x) \wedge \varphi(u(x)) = (\det \varphi)(x \wedge u(x))$; en prenant une base orthonormale de $E$, on voit que $\det \varphi$ est positif (prop. 1 b)); d’où notre assertion.

Ceci étant, parmi les deux générateurs $\omega$ de $\mathbf{A}(\Phi)$ tels que $\omega^2 = -1$, il en existe un et un seul tel que le bivecteur $x \wedge \omega(x)$ soit positif pour tout $x \in E$. C’est ce générateur que nous choisirons pour définir les fonctions $c_w, s_w$ et $t_w$ (no 2). Soient $h$ et $h'$ les bijections canoniques ci-dessus définies du groupe $\mathfrak{A}_0$ des angles de droites sur $S^+/H$ et du groupe $\mathfrak{A}$ des angles de demi-droites sur $O^+$. Les applications composées $t_w \circ h$ de $\mathfrak{A}_0$ dans le corps projectif $\tilde{\mathfrak{A}}$, $c_w \circ h'$ et $s_w \circ h'$ de $\mathfrak{A}$ dans le corps $A$ se notent respectivement $\operatorname{tg}$, $\cos$ et $\sin$, et s’appellent les fonctions tangente, cosinus et sinus. L’application $\varphi \to 1/\operatorname{tg} \varphi$ de $\mathfrak{A}_0$ dans $\tilde{\mathfrak{A}}$ se note $\operatorname{cotg}$ et s’appelle la fonction cotangente. On dit que les fonctions sinus, tangente et cotangente sont les fonctions trigonométriques. Les applications composées $\operatorname{tg} \circ p$ et $\operatorname{cotg} \circ p$, où $p$ désigne l’homomorphisme canonique de $\mathfrak{A}$ sur $\mathfrak{A}_0$ (Remarque 2 ci-dessus) se notent encore $\operatorname{tg}$ et $\operatorname{cotg}$ par abus de langage.

Les formules (2), (8), (3), (4), (5) et (7) du no 2 donnent, puisqu’on a ici $\delta = -1$

pour $\varphi, \varphi'$ dans $\mathfrak{A}_0$;

pour $\theta, \theta'$ dans $\mathfrak{A}$. D’autre part on a, par définition ou comme conséquence facile des formules précédentes :

pour $\theta \in \mathfrak{A}$.

Étant donnés deux vecteurs non nuls $x, y$ de $E$, on appelle angle de ces deux vecteurs (pris dans cet ordre), et on note $\widehat{(x, y)}$, l’angle des demi-droites auxquelles ils appartiennent. Pour tout vecteur $x$ de $E$ on appelle longueur de $x$, et on note $|x|$, l’élément $\Phi(x, x)^{1/2}$ de $A$.