Exercice 1, § 13

Soient K un corps de caractéristique $p > 0$, E une extension de K ; E est une extension radicielle de hauteur $\leq 1$ de $K(E^p)$. Le cardinal d’une $p$-base de E sur $K(E^p)$ (cf. V, p. 98, th. 2) est appelé le degré d’imperfection de E sur K. Si $K(E^p) = E$, on dit que E est relativement parfait sur K ; si E est parfait, il est relativement parfait sur chacun de ses sous-corps. Le degré d’imperfection (absolu) de K est le degré d’imperfection de K sur son sous-corps premier $F_p$, ou encore le cardinal d’une $p$-base (absolue) de K. a) Si B est une $p$-base de E sur $K(E^p)$, montrer que, pour tout entier $k > 0$, on a $E = K(E^{p^k})(B)$. b) On suppose que $E \subset K^{p^{-n}}$ pour un entier $n > 0$. Montrer que, pour que le degré $[E : K]$ soit fini, il faut et il suffit que le degré d’imperfection $m_0$ de E sur K soit fini ; $m_0$ est alors le plus petit cardinal des ensembles S tels que $E = K(S)$. Montrer que, si $m_k$ est le degré d’imperfection de $K(E^{p^k})$ sur K, on a $m_{k+1} \leq m_k$ pour tout $k$, et si $f = \sum_k m_k$, on a $[E : K] = p^f$.