Exercice 10, § 3

Soient $K$ un corps, $P$ un polynôme de l’anneau $K[X, Y]$ à deux indéterminées. On suppose qu’il existe un polynôme $H \in K[X]$ et deux polynômes $Q, R$ de $K[X, Y]$ tels que $H(X)P(X, Y) = Q(X, Y)R(X, Y)$ et que les coefficients de $Q(X, Y)$, considéré comme polynôme en $Y$, soient des polynômes de $K[X]$ sans facteur commun non constant. Montrer que tous les coefficients de $R(X, Y)$, considéré comme polynôme en $Y$, sont divisibles par $H(X)$. (Considérer $H, P, Q, R$ comme des polynômes en $X$ sur le corps $K(Y)$ et les décomposer en facteurs du premier degré dans $\Omega[X]$, où $\Omega$ est une clôture algébrique de $K(Y)$; observer que si $H(X)$ et $Q(X, Y)$ avaient un facteur du premier degré commun, ce facteur diviserait tous les coefficients de $Q(X, Y)$ considéré comme polynôme en $Y$, et utiliser le fait (IV, p. 12) que si $K'$ est une extension de $K$, le pgcd dans $K'[X]$ de deux polynômes de $K[X]$ appartient à $K[X]$.)