Bài tập 10, § 3

Cho K là một trường và P là một đa thức trong vành $K[X, Y]$ theo hai ẩn. Giả sử rằng tồn tại một đa thức $H \in K[X]$ và hai đa thức Q, R $\in K[X, Y]$ sao cho $H(X)P(X, Y) = Q(X, Y)R(X, Y)$ và các hệ số của $Q(X, Y)$, xét như đa thức theo Y, là các đa thức trong $K[X]$ không có nhân tử chung không hằng. Hãy chỉ ra rằng mọi hệ số của $R(X, Y)$, xét như đa thức theo Y, đều chia hết cho $H(X)$. (Hãy coi H, P, Q, R như các đa thức theo X trên trường $K(Y)$ và phân tích chúng thành các nhân tử bậc nhất trong $\Omega[X]$ với $\Omega$ là một bao đóng đại số của $K(Y)$; nhận thấy rằng nếu $H(X)$ và $Q(X, Y)$ có một nhân tử bậc nhất chung, thì nhân tử này sẽ chia hết mọi hệ số của $Q(X, Y)$, xét như đa thức theo Y, và dùng tính chất (IV, p. 12) rằng nếu $K'$ là một mở rộng của K, thì GCD trong $K'[X]$ của hai đa thức thuộc $K[X]$ nằm trong $K[X]$.) \*