Exercice 7, § 3

Soient L un corps, A un sous-anneau de L, K ⊂ L le corps des fractions de A. a) Montrer que si L est un A-module de type fini (II, p. 15), on a nécessairement A = K (montrer, en considérant un sous-espace supplémentaire de K dans L, considéré comme espace vectoriel sur $K$, que $K$ est un $A$-module de type fini, donc nécessairement de la forme $s^{-1}A$, où $s \in A$; prouver enfin que $s$ est nécessairement inversible dans $A$. b) Montrer que s’il existe un nombre fini d’éléments $x_j$ ($1 \leq j \leq n$) de $L$, algébriques sur $K$ tels que $L = A[x_1, ..., x_n]$, alors il existe un élément $b \neq 0$ dans $A$ tel que $K = A[b^{-1}]$ (montrer qu’il existe $b \neq 0$ dans $A$ tel que $L$ soit un $A[b^{-1}]$-module de type fini). Montrer que, ou bien $b$ est inversible (et $K = A$), ou bien tout idéal de $A$ non réduit à 0 contient un idéal principal $Ab^m$. Réciproque. L’anneau $k[[X]]$ des séries formelles sur un corps $k$ est un anneau de ce type.