Bài tập 7, § 3

Cho L là một trường, A là một vành con của L và $K \subset L$ là trường phân thức của A. a) Chứng minh rằng nếu L là một A-môđun hữu hạn sinh (II, p. 206) thì tất yếu $A = K$ (bằng cách xét một không gian con bổ sung của K trong L, như một không gian vectơ trên K, chứng minh rằng K là một A-môđun hữu hạn sinh, do đó tất yếu có dạng $s^{-1}A$, trong đó $s \in A$; cuối cùng chứng minh rằng s phải khả nghịch trong A). b) Chứng minh rằng nếu tồn tại một số hữu hạn các phần tử $x_j$ ($1 \leq j \leq n$) của L, đại số trên K, sao cho $L = A[x_1, \ldots, x_n]$, thì tồn tại một phần tử $b \neq 0$ trong A sao cho $K = A[b^{-1}]$ (chứng minh rằng tồn tại $b \neq 0$ trong A sao cho L là một $A[b^{-1}]$-môđun hữu hạn sinh). Chứng minh rằng hoặc b khả nghịch (và $K = A$), hoặc mọi iđêan khác không của A đều chứa một iđêan chính $Ab^m$. Đảo lại. Vành $k[[X]]$ các chuỗi lũy thừa hình thức trên một trường k là một vành thuộc kiểu này.