Exercice 1, § 2

Soient $A$ un anneau totalement ordonné, $B$ un sous-groupe additif de $A$ stable par multiplication. a) On dit qu’un élément $x \in A$ est infiniment grand par rapport à $B$ si $|y| < |x|$ pour tout $y \in B$. Montrer que l’ensemble $F(B)$ des éléments de $A$ qui ne sont pas infiniment grands par rapport à $B$ est un sous-anneau de $A$ contenant $B$. b) On dit qu’un élément $x \in A$ est infiniment petit par rapport à $B$ si, pour tout $y \in B$ tel que $y > 0$, on a $|x| < y$. Si, pour tout $y \in B$ tel que $y > 0$, il existe $z \in B$ tel que $0 < z < y$, l’ensemble des éléments de $A$ infiniment petits par rapport à $B$ est un sous-pseudo-anneau $I(B)$ de $A$. Si en outre, pour tout couple d’éléments $y, z$ de $B$ tels que $0 < y < z$, il existe $x \in B$ tel que $0 < xz < y$, alors $I(B)$ est un idéal dans l’anneau $F(B)$.