Bài tập 1, § 2

Cho A là một vành được sắp thứ tự toàn phần và B là một nhóm con cộng tính của A đóng đối với phép nhân. a) Một phần tử $x \in A$ được gọi là vô hạn lớn đối với B nếu $|y| < |x|$ với mọi $y \in B$. Chứng minh rằng tập hợp F(B) gồm các phần tử của A không vô hạn lớn đối với B là một vành con của A chứa B. b) Một phần tử $x \in A$ được gọi là vô hạn nhỏ đối với B nếu, với mọi $y > 0$ trong B, ta có $|x| < y$. Nếu, với mọi $y > 0$ trong B, tồn tại $z \in B$ sao cho $0 < z < y$, thì tập hợp các phần tử của A vô hạn nhỏ đối với B là một nửa-vành giả con I(B) của A. Nếu thêm vào đó, với mỗi cặp phần tử y, z của B thỏa mãn $0 < y < z$, tồn tại $x \in B$ sao cho $0 < xz < y$, thì I(B) là một iđêan trong vành F(B).