Exercice 15, § 2

Soient E un corps ordonné, K un sous-corps de E tel que E soit algébrique sur K, R une extension ordonnée maximale de K. a) Parmi les éléments de E — K, soit $x_0$ un de ceux dont le polynôme minimal f sur K a le plus petit degré possible. Montrer que, dans R[T], $f'(T)$ est produit de facteurs de la forme $(T - a_i)^2 + c_i^2$ ($a_i \in R$ et $c_i \in R$) et de facteurs du premier degré $T - b_j$ avec $b_j \in K$, les $b_j$ étant deux à deux distincts. En déduire qu’il existe dans R un élément $y_0$ tel que $f(y_0) = 0$ et que pour tout $z \in K$, $x_0 - z$ et $y_0 - z$ aient le même signe dans E et dans R respectivement (cf. VI, p. 41, exerc. 26, c)). b) Déduire de a) qu’il existe un K-isomorphisme (pour la structure de corps ordonné) de E sur un sous-corps de R. (Montrer d’abord qu’il existe un tel isomorphisme pour le sous-corps ordonné $K(x_0)$ de E ; pour tout polynôme $g \in K[T]$ tel que $\deg(g) < \deg(f)$, on appliquera à g le même raisonnement qu’à $f'$ dans a), afin d’évaluer les signes de $g(x_0)$ et de $g(y_0)$; puis appliquer le th. de Zorn.) c) Montrer que si R, R’ sont deux extensions algébriques ordonnées maximales de K, il existe un K-isomorphisme et un seul de R sur R’ (appliquer b)).

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