Bài tập 15, § 2

Cho $E$ là một trường có thứ tự, cho $K$ là một trường con của $E$ sao cho $E$ là đại số trên $K$, và cho $R$ là một mở rộng có thứ tự cực đại của $K$.

a) Trong số các phần tử của E – K, lấy x, là một phần tử mà đa thức tối tiểu f trên K có bậc nhỏ nhất có thể. Chứng minh rằng $f'(T)$ là một tích của các thừa số trong R[T] có dạng $(T - a_i)' + c_i^2$ ($a_i, c_i \in \mathbf{R}$), và các thừa số bậc một T – b, với các b, là các phần tử phân biệt từng đôi một của K. Suy ra rằng tồn tại một phần tử $y_0$ trong R sao cho $f(y_0) = 0$ và sao cho $x_0 - z$ và $y_0 - z$ có cùng dấu, lần lượt trong E và R, với mọi $z \in K$ (xem VI, p. 43. Ex. 26, c)).

b) Suy ra từ a) rằng tồn tại một đẳng cấu K từ trường có thứ tự E lên một trường con của R. (Trước hết chứng minh rằng tồn tại một đẳng cấu như vậy đối với trường con $K(x_0)$ của E ; với mọi đa thức $g \in K[T]$ sao cho $\deg(g) < \deg(f)$, áp dụng cùng lập luận đã dùng cho $f'$ trong a) để đánh giá các dấu của $g(x_0)$ và $g(y_0)$; sau đó áp dụng Bổ đề Zorn).

c) Chứng minh rằng nếu R và R' là hai mở rộng đại số có thứ tự cực đại của K thì tồn tại chính xác một đẳng cấu K từ R lên R' (áp dụng b)).